Sempre in riferimento all'Esercizio 2, ho rifatto i conti (con lo stesso procedimento della diagonalizzazione) ...e adesso i conti tornano!
Adesso la probabilità richiesta (che la mosca dopo k mosse sia sul pavimento, probabilità che con i miei simboli è $c_k$) mi viene:
$c_k = -1/2·1/5^k +(-1)^k·1/3·1/5^k + 1/6$.
Finito il conticino, ho anche scoperto (!!!) che potevo evitarmi la ricerca delle matrice $M$ degli autovettori di $T$ ed il calcolo della sua inversa $M^-1$. Infatti si può evitare il procedimento della diagonalizzazione completa della matrice di transizione e fermarsi ai suoi autovalori perché, se questi sono $α$, $β$ e $γ$, la probabilità richiesta è senz'altro del tipo:
$A·α^k + B· β^k + C· γ^k$ (*)
con A, B e C costanti opportune.
Basta allora conoscere la detta probabilità per tre valori distinti di k per poter calcolare le costanti A, B e C.
Ricordo che la matrice di transizione T nel nostro caso viene (usando i vettori-riìga invece dei vettori-colonna):
- Codice:
|1/5, 4/5, 0/5|
T = !1/5, 3/5, 1/5|.
|0/5, 4/5, 1/5|
e i suoi autovalori sono
1/5; -1/5; 1.
Sappiamo già che $V_0 = [1, 0, 0]$.
Con la matrice di transizione calcoliamo allora $V_1$ e $V_2$ e quindi potremo calcolare le costanti $A$, $B$ e $C$.
Abbiamo
$V_1 = [a_1, b_1, c_1] = [1, 0, 0]·T = [1/5, 4/5, 0/5]$;
$V_2 = [a_2, b_2, c_2] = [1/5, 4/5, 0/5]·T = [5/25, 16/25, 4/25]$.
In particolare:
$c_0 = 0$; $c_1 = 0$; $c_2 = 4/25$.
Applicando allora la (*) per k =0, k=1 e k = 2 abbiamo dunque:
$A·(1/5)^0 + B· (-1/5)^0 + C· 1^0 ≡ A + B + C = 0$;
$A·(1/5)^1 + B· (-1/5)^1 + C· 1^1 ≡ A/5 - B/5 + C = 0$;
$A·(1/5)^2 + B· (-1/5)^2 + C· 1^2 ≡ A/25 + B/25 + C = 4/25$;
Risolvendo questo sistemino lineare nelle incognite A, B e C si trova
$A = -1/2$; $B = 1/3$; $C = 1/6$
In definitiva, come già trovato con la diagonalizzazione, [osservando che 1^k = 1 per qualsiasi k], risulta
<
Probabilità che la mosca, dopo k mosse, sia sul pavimento> = $c_k = -1/2·1/5^k +(-1)^k·1/3·1/5^k + 1/6$.
LeonardoP9 ha scritto: .. cosa c'entra il vettore con la probabilità?
Che cos'è un vettore?
Dimentichiamo le sue applicazioni in Fisica ... e anche la sua rappresentazione geometrica!
Restando in algebra astratta, un vettore n-dimensionale è una n-pla ordinata di numeri, prescindendo dal significatio dei numeri stessi.
Qui abbiamo una terna di probabilità:
a) che la mosca sia sul soffitto;
b) che la mosca sia su una parete;
c) che la mosca sia sul pavimento.
La terna cambia ad ogni mossa della mosca.
Allora la terna di probabilità la trattiamo come un vettore tridimensionale ... che cambia linearmente perché abbiamo visto che le mosse della mosca con le quali cambia la terna di probabilità corrispondono ad una sostituzione lineare [di tre equazioni sulle tre probabilità alla mossa k-esima della mosca per avere le tre probabilità alla mossa (k+1)-esima).
IIl calcolo matriciale è idoneo allo studio di questo problemino.
Come detto, posto
$V_n = [a_n, b_n, c_n]$ la terna di probabilità all'
n-esima mossa, la terna alla mossa (
n+1)-esima è data da
$V_(n+1) = V_n · T$
Insomma: il calcolo matriciale – e un vettore è qui una matrice di formato 1 x 3 – non è altro che un simbolismo sul calcolo da fare che compatta il da farsi e ne migliora l'epressività.
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