Convergenza Integrali con Log

[TheCr0w]

Riesco a dire se un integrale improprio converge o meno ma ogni volta che sbuca fuori il logaritmo non riesco ad andare avanti e non so come comportarmi. Qui ci sono alcuni esercizi che ho provato a fare ma che non riesco a completare.

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Nel primo esercizio ad esempio ho 2 problemi, uno in 0 e uno a + infinito quindi spezzo l'integrale in 2 integrali con 1 problema solo. Se sono in un intorno di 0 ad esempio cosa faccio con il logaritmo? Sostituisco 0 quindi viene ln2 che e' una costante e quindi la porto fuori dall'integrale e continuo? E a + infinito invece? Grazie per la pazienza.

[Berationalgetreal]

Non credi che scrivendo gli integrali qui, e non rimandando a dei link esterni, attireresti di più gli utenti ad aiutarti? Non dico che tu debba metterti al primo messaggio a scrivere in Latex, ma almeno provare a scrivere qualcosa sarebbe un inizio. I link sono scomodi e potrebbero risultare inattivi in futuro. Comunque, per questa volta, ci penso io:

\[ \int_{-1}^{+ \infty} \frac{ x + 1 + \ln (x +2) }{x^3 + x} dx \]

\[ \int_{1}^{+ \infty} \frac{x + \ln (x)}{x^3 - x} dx \]

\[ \int_{1}^{3} \frac{(5x -2) \ln (4 - x)}{x^2 - 3x} dx \]

Comunque, in tutti e tre i casi, ti consiglio di utilizzare gli integrali impropri notevoli, in particolare quelli del p-test. Chiaramente devi manipolare un po' le funzioni, pensando soprattutto i limiti notevoli, e poi usare il criterio del confronto asintotico. Dimmi con più precisione cosa non ti risulta chiaro su questi integrali, e vedremo cosa si può fare

[TheCr0w]

Ho pensato che sarebbe stato meglio mettere gli screenshot perche' magari scrivendo con la tastiera non sarebbe stato abbastanza comprensibile e no, non so cosa sia il latex. Comunque nel secondo esercizio ad esempio c'e' un problema in 1 e in +infinito giusto? Quindi vado a vedere cosa succede nei due casi. Nell'intorno di 1 ad esempio come mi comporto? Se provo a fare un cambio di variabili e metto x-1=y mi viene che l'integrale va da 0 a +infinito e l'integranda diventa ((y+1)+ln(y+1))dy/((y+1)^3)-(y+1)). A questo punto cambiando variabili ho spostato il problema in 0 no? Posso ora sostituire y=0 davanti ln in modo da toglierlo dalle scatole e continuare? O che altro bisogna fare? E nell'intorno di +infinito invece?

[Berationalgetreal]

In casi come questo, è inutile sostituire; o meglio, è inutile se speri di riuscire a risolvere il fatto che la funzione integranda non è definita negli estremi. Ti consiglio di procedere così:

\[ \int_{1}^{+\infty} \frac{ x + \ln x}{x^3-x} dx = \int_{1}^{2} \frac {x + \ln x}{x^3 -x} dx + \int_{2}^{+\infty} \frac{x + \ln x}{x^3 - x} dx \]

In $ x = 2$ la funzione è definita, quindi adesso dobbiamo studiare questi due integrali impropri rispettivamente di seconda e di prima specie.

Il primo è immediato:

Notiamo che

\[ \frac {x + \ln x} {x^3-x} = \frac{x + \ln x}{x ( x -1) (x+1)} = \frac{1}{x-1} \cdot \frac{x + \ln x}{x+1} \sim \frac{1}{x-1}, \ x \to 1 \]

Quindi il primo integrale è asintotico all'integrale notevole

\[ \int_{1}^{2} \frac{1}{x-1} dx \]

che diverge poiché il denominatore è elevato alla $1$. Integrali di questa forma convergono $\iff$ l'esponente del denominatore $p <1$.

Per il secondo invece, possiamo notare che:

\[ \frac {x + \ln x}{x^3 -x} = \frac{x \left ( 1 + \frac{\ln x}{ x} \right )}{x^3 \left ( 1 - \frac{1}{x^2} \right )} = \frac{1}{x^2} \cdot \frac{1 + \frac{\ln x}{x}}{1 - \frac{1}{x^2}} \sim \frac{1}{x^2}, \ x \to + \infty \]

Quindi risulta che converge poiché asintotico all'integrale improprio notevole

\[ \int_{2}^{+\infty} \frac {1}{x^2} dx \]

che converge poiché ha esponente al denominatore $ p = 2 >1$.

Quindi, l'integrale improprio di partenza è somma di un integrale improprio convergente e di uno divergente $\implies$ è divergente.

\( \displaystyle \Bigg ( \) NB ti faccio notare che abbiamo potuto utilizzare il criterio del confronto asintotico perché la funzione è positiva per $ x \in (1;+ \infty) $. Se non fosse stato così, avremmo dovuto procedere diversamente. \( \displaystyle \Bigg ) \)

Ti consiglio di dare un'occhiata agli integrali impropri notevoli, soprattutto quelli del p-test

[TheCr0w]

Perfetto ho capito. E nel terzo esercizio invece? Il problema mi pare che ci sia solo in x=3 e inoltre il logaritmo al numeratore si annulla proprio quindi come mi comporto?

[Berationalgetreal]

Notando che

\[ \ln (4 - x) = \ln (1 + (3 - x)) \]
\[ x^2 - 3x = x( x - 3) \]

puoi concludere che in valore assoluto l'integrale è asintotico all'integrale

\[ \int_{1}^{3} \frac{1}{(3 - x)^0} \ dx \]

che è chiaramente convergente. Verifichiamo:

\[ \lim_{x \to 3} {\frac{\left | \frac{ \ln (1 + (3-x))}{3 - x} \cdot \frac{5x - 2}{x} \right |}{(3 - x)^0}} = \frac{13}{3} \in \mathbb{R} \setminus \{0\} \]

Quindi, l'integrale di partenza converge assolutamente e quindi anche semplicemente.

[TheCr0w]

Perfetto quindi utilizzando i tuoi consigli del primo integrale posso dire che converge con problema a +infinito perche' si comporta come 1/x^2 con problema a +infinito e converge con problema in 0 perche' si comporta come 1/x con problema in 0 giusto? Quindi tutto l'integrale converge.