Equazione complessa con coniugato

[fifty_50]

Salve a tutti,
mi sto esercitando sulle equazioni complesse ma su una di queste ho un dubbio, l'equazione in questione è
$ z^2=bar(z) $
essendo $ z=a+ib $ e $ bar(z)=a-ib $ ho sostituito tali valori nell' equazione di partenza ed effettuando vari calcoli sono giunta alla risoluzione dei due sistemi

$ { ( a(a-1)=0 ),( b=0 ):} $

$ { ( b^2=3/2),(a=-1/2):} $

Da cui ottengo le soluzioni
$ z=0 $
$ z=1 $
$ z=-1/2-isqrt(3) /2 $
$ z=-1/2+isqrt(3) /2 $
Il mio dubbio è il seguente: per il corollario del teorema fondamentale dell'Algebra ogni polinomio a coefficienti reali o complessi di grado $ n>=1 $ ammette, in $ C $ , $ n $ radici contate con la loro molteplicità.
Poichè la suddetta equazione è di secondo grado, perchè ci sono quattro soluzioni? Ho commesso qualche errore di calcolo?
Spero nel vostro aiuto e vi ringrazio in anticipo.

[billyballo2123]

Se fosse $c_2z^2+c_1z+c_0=0$ allora, come dice il teorema fondamentale dell'algebra, si avrebbero due soluzioni. Ma qui hai $z^2-\overline{z}=0$. Questo non è un polinomio in $z$, ma un polinomio in $z$ e $\overline{z}$, dunque non si applica il teorema fondamentale dell'algebra.

[Palliit]

... la suddetta equazione è di secondo grado...

No perchè la coniuugazione non è un'operazione algebrica. Detto altrimenti, un polinomio in $z$ dev'essere combinazione di potenze della sola $z$, non deve comparire il suo coniugato $bar(z)$, oppure il suo modulo $|z|$ o quant'altro.

Pensa ad esempio alla banalissima equazione: $z*bar(z)=1$. Ammette infinite soluzioni.

P.S.: perchè l'equazione che hai scritto non provi a risolverla passando alla forma esponenziale? La soluzione è molto più snella.

EDIT: scusa billyballo2123 per la sovrapposizione...

[billyballo2123]

EDIT: scusa billyballo2123 per la sovrapposizione...

[fifty_50]

Ecco qual era il problema!
Non sapevo che il teorema fondamentale dell'algerbra si potesse applicare soltanto in presenza di equazioni nella sola variabile z, adesso mi è tutto più chiaro!
Grazie mille ad entrambi per le risposte, siete stati molto gentili ed esaustivi ☺️

[elpuntazza]

ciao ragazzi, scusate l intromissione ma ho anche io un dubbio: ho capito che non posso applicare il teorema fondamentale dell algebra per determinare il numero di soluzioni complesse, però essendo del tipo z^n=omega, con z e omega due numeri complessi, dovrei avere un numero di radici pari a n! cosa c è di sbagliato nel mio ragionamento?

[Palliit]

cosa c è di sbagliato nel mio ragionamento?

Niente.

L'equazione: $" "z^n=omega" "$ ammette $" "n" "$ soluzioni complesse. Risolvila e te ne convincerai.

[billyballo2123]

ciao ragazzi, scusate l intromissione ma ho anche io un dubbio: ho capito che non posso applicare il teorema fondamentale dell algebra per determinare il numero di soluzioni complesse, però essendo del tipo z^n=omega, con z e omega due numeri complessi, dovrei avere un numero di radici pari a n! cosa c è di sbagliato nel mio ragionamento?

L'equazione $z^2=\overline{z}$ non è un'equazione del tipo $z^n=\omega$! Non puoi porre $\overline{z}=\omega$.

[Palliit]

Mi sembrava di capire che @elpuntazza intendesse per $omega$ un numero complesso assegnato.

[billyballo2123]

Esatto... per questo $z^n=\omega$ non lo si può applicare a questa equazione $z^2=\overline{z}$
non era questo il dubbio di elpuntazza?