Esercizio su relazioni d'equivalenza

[Cyber-Math]

Salve,

ho questo esercizio:

Nell'insieme A = Z \ {0} dei numeri interi non nulli si consideri la relazione R definita ponendo

aRb <=> ab > 0;

1) Si dimostri che R è una relazione d'equivalenza in A:
Da qui ho dedotto che
R è riflessiva <=> (a,a) € R , V a € Z => aRa, V a € A e qui ci siamo

R è simmetrica <=> a R b => b R a, V a,b € Z e questo è falso perchè, controesempio, a = -5 e b = 1 - 5 * 1 < 0
e da quindi non è una relazione di equivalenza.

Ho sbagliato?

2) Si descriva la partizione di A indotta da R.

Questo punto come deve essere fatto?

Grazie mille per l'attenzione

[Shocker]

Non è un controesempio perché $a$ non è in relazione con $b$, la proprietà simmetrica ci dice che per ogni $a, b \in \mathbb{Z}$ SE $aRb$ allora $bRa$, capito? Nel tuo esempio $a$ non è in relazione con $b$ quindi ovvio che non vale la simmetria, per trovare un controesempio dovresti dimostrare che SE $aRb$ allora $b$ non è in relazione con $a$.

[Cyber-Math]

Hai pienamente ragione grazie mille
Il secondo punto sai cosa devo fare?

[Shocker]

Hai pienamente ragione grazie mille
Il secondo punto sai cosa devo fare?

Devi ancora dimostrare che la relazione è transitiva.

Per il secondo punto... la relazione cosa ci dice? Ci dice che $aRb \iff ab > 0$ questo succede quando i segni di $a$ e $b$ sono concordi, dunque le classi di equivalenza dell'insieme quoziente quali sono e quante sono?

[Cyber-Math]

Detta in questo modo forse si capisce di più. Credo siano [Z+] e [Z-] tranne {0}?

[Shocker]

Detta in questo modo forse si capisce di più. Credo siano [Z+] e [Z-] tranne {0}?

Esatto, potresti scegliere come rappresentanti $-1$ e $1$(per esempio), quindi l'insieme quoziente è ${ [-1]_, [1]}$. Lo zero si esclude perché la relazione di equivalenza è definita su $Z-{0}$.

[Cyber-Math]

Come rappresentanti posso scegliere qualsiasi elemento di Z+ e Z- quindi?

Un ultima cosa quando mi chiede di Dimostrare che è una relazione di equivalenza e quindi che è riflessiva simmetrica e transitiva basta scrivere, ovviamente se lo sono, le definizioni di ognuna o bisogna scrivere anche altro?

[Shocker]

Come rappresentanti posso scegliere qualsiasi elemento di Z+ e Z- quindi?

Un ultima cosa quando mi chiede di Dimostrare che è una relazione di equivalenza e quindi che è riflessiva simmetrica e transitiva basta scrivere, ovviamente se lo sono, le definizioni di ognuna o bisogna scrivere anche altro?

1)Certo, questo perché le classi di equivalenza forniscono una partizione dell'insieme su cui è definita la relazione.
Per intenderci, se $[a]$ e $[b]$ sono classi di equivalenza e $b \in [a]$ allora $[a] = [b]$ perché due classi o coincidono o sono disgiunte, dunque qualsiasi elemento della classe può esserne rappresentante.


Devi anche scrivere perché vale la proprietà. Prova a dimostrare perché vale la proprietà transitiva nella relazione dell'esercizio.

[Cyber-Math]

Come rappresentanti posso scegliere qualsiasi elemento di Z+ e Z- quindi?

Un ultima cosa quando mi chiede di Dimostrare che è una relazione di equivalenza e quindi che è riflessiva simmetrica e transitiva basta scrivere, ovviamente se lo sono, le definizioni di ognuna o bisogna scrivere anche altro?

1)Certo, questo perché le classi di equivalenza forniscono una partizione dell'insieme su cui è definita la relazione.
Per intenderci, se $[a]$ e $[b]$ sono classi di equivalenza e $b \in [a]$ allora $[a] = [b]$ perché due classi o coincidono o sono disgiunte, dunque qualsiasi elemento della classe può esserne rappresentante.


Devi anche scrivere perché vale la proprietà. Prova a dimostrare perché vale la proprietà transitiva nella relazione dell'esercizio.

E' transitiva <=> aRb bRc => aRc
Devo fare un esempio prendendo dei numeri? Tipo a = 1 b =2 c = 3. aRb e bRc allora 1 * 3 > 0 va bene così?

[Shocker]

E' transitiva <=> aRb bRc => aRc
Devo fare un esempio prendendo dei numeri? Tipo a = 1 b =2 c = 3. aRb e bRc allora 1 * 3 > 0 va bene così?

No, in questo modo mostri che la proprietà vale per $a=1, b=2, c=3$(insomma, è un caso particolare); tu devi dimostrare che vale per ogni $a, b, c$ tali che se $aRb$ e $bRc$ allora $aRc$.
Per fare ciò inizia a chiederti come puoi riscrivere le ipotesi... cioè, supponi di avere $a, b, c$ tali che $aRb$ e $bRc$, come posso riscrivere quest'ipotesi? In altri termini, cosa significa che $aRb$ e $bRc$?
Una volta fatto chiediti come puoi dedurre dalle ipotesi la tesi, cioè: $aRc$.