Prodotto scalare e vettori isotropi

[Isaac888]

Salve a tutti.

Mi stavo chiedendo se la proposizione seguente sia vera (in sp. vett. di dimensione finita su campi di caratteristica nulla):
"Un prodotto scalare è nullo se e solo se esiste una base ortogonale di vettori isotropi".

Perchè, se tale proposizione fosse vera, allora potrei affermare che un prodotto scalare non nullo ammette almeno un vettore non isotropo perchè:

Sia $W$ un sottospazio su cui la restrizione del prodotto scalare (non nullo) è non degenere. Ammettendo che $dim(W)=k$, il numero di piani iperbolici contenuti in $W$ è non più di $\frac{k}{2}$. Dunque, non potendo prendere più di $\frac{k}{2}$ vettori isotropi ortogonali in $W$ (ognuno appartenente ad un diverso piano iperbolico), ce ne deve essere almeno uno non isotropo in $W$.

So che dato un prodotto scalare non nullo (in sp. vett. di dimensione finita su campi di caratteristica nulla), grazie alla formula di polarizzazione posso affermare che esiste un vettore non isotropo. E' solo che vorrei legare l'informazione del prodotto scalare non nullo ai piani iperbolici (o al loro numero).

Se qualcuno non l'avesse capito, la domanda è:
1)ha senso la proposizione che ho costruito all'inizio?
2)Ha senso tutto quello che ho detto dopo?

Grazie mille in anticipo a chi risponderà.

[vict85]

Un prodotto scalare è nullo se \(\displaystyle \langle \mathbf{v},\mathbf{w} \rangle = 0 \) per ogni \(\displaystyle \mathbf{v},\mathbf{w} \in V \). Questo implica due cose:

1. Ogni vettore è ortogonale ad ogni altro;
2. Ogni vettore è isotropo.

Quindi ogni base di \(\displaystyle V \) è ortogonale ed è formata da vettori isotropi.

Se esiste una base ortogonale di vettori isotropi allora \(\displaystyle \langle \mathbf{v},\mathbf{w} \rangle = \sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^n v_iw_j \langle \mathbf{e}_i,\mathbf{e}_j \rangle = 0 \). Quindi il prodotto vettoriale è nullo.

Riguardo alla seconda parte, dipende da come stai definendo "prodotto scalare". Perché se lo stai usando come sinonimo di forma bilineare allora non è detto che esistano basi ortogonali e quindi esistono forme bilineari non degeneri in cui ogni vettore è isotropo. Insomma ogni forma bilineare antisimmetrica (in caratteristica diversa da 2) ha questa proprietà.