Problema calcolo combinatorio-probabilita

[kobeilprofeta]

Premessa: per parlare del calcolo combinatorio userò la scrittura x|y {che sarebbe x!/y!/(x-y)!}, quindi 5|2= 5!/2!/3!=10
(lo so che non è corretto ma non riesco ad utilizzare bene la grafica e i simboli)


Detto questo, volevo fare una formula che permetta brevemente, senza fare molti calcoli e ragionamenti, per calcolare la probabilità di un classico gioco a premi (es superenalotto) dove c'è un totale di numeri T (90), ne vengono estratti E (6) e ne devo indovinare Q (6) giocandone G (6).

Ecco, nel caso in cui Q=G non ho avuto problemi ma quando Q diventa diverso da G ho iniziato ad avere problemi. Praticamente la formula (non sto dicendo che l'ho inventata, semplicemente voglio semplificare il tutto) è questa:
(T-Q)|(E-Q)/T|E

Per esempio prendiamo il gioco del 10 e lotto con tre numeri giocati da indovinare.
T=90
E=20
Q=3
La probabilità risulta: 0.0097 che è circa 1/103.

A questo punto mi sono chiesto: ma se giocassi più di tre numeri, come cambierebbe la probabilità?
Ed ho pensato subito:

(T-Q)|(E-Q)*G|Q/T|E

Perchè ho pensato che giocando G numeri, si formeranno G|3 terzine. Ma poi ho pensato che (sempre allo stesso gioco), giocando 53 numeri (G=73) si dovrebbe avere la certezza di vincere (perchè anche se 70 dei 73 sono tra i non-estratti, comunque gli altri tre saranno estratti. 
Ma facendo il calcolo viene una probabilità di circa 603.53 (che è assurda perche maggiore di 1!).
Penso di capire dove sta il mio errore: nel considerare G|Q "terzine", non considero però che molte terzine tra di loro possono avere tra di loro uno o più numeri in comune...(?)
Quindi concludendo, avete un'idea per la formula con Q diverso da G?

Ps: spero che vi piaccia la formula e l'abbiate trovata comoda e veloce (sempre nel caso che non l'avesse già pubblicata qualcun'altro, che non si sa mai!)

...grazie in anticipo.

[superpippone]

Ho fatto fatica a seguire i tuoi ragionamenti.
Però ci sono quasi riuscito.
La formula che tu hai "inventato" è quella che si usa abitualmente, e che mi hanno insegnato a scuola una trentina d'anni fa.
Ad esempio per trovare le possibili terzine con 8 numeri io facevo così:

$(8*7*6)/(3*2*1)$ che è la stessa cosa di $(8*7*6)/(3!)$ che complicandosi la vita diventa $(8!)/[(3!)*(5!)]$

L'ultima è esattamente la stessa cosa che dici tu.
Mi dispiace, non hai scoperto nulla di nuovo.

[kobeilprofeta]

No. Mi sa che non hai capito il mio discorso. All'inizio ho scritto che per trovare il numero di terzine in una quantita (es 8) si fa (8!)/((5!)*(3!)) Non ho assolutamente detto di averlo scoperto io. All'inizio del post ho detto che da lì in avanti avrei usato la scrittura 8|5 per sottointendere (8!)/((5!)*(3!)). Ma il problema e tutt'altro!!

[superpippone]

Ciao.
Chiedo venia. Ho capito dopo cosa volevi dire.
Il calcolo del numero delle terzine che si formano giocando più di 3 numeri è corretto.
Non mi è invece chiaro come calcoli la probabilità di vincita.
Facciamo un esempio più semplice: qual è la probabilità di fare almeno un terno giocando 6 numeri su una singola ruota?
A me (se non ho clamorosamente toppato) viene questa mostruosità (che non sono in grado di calcolare):

$1-[(117.460!)/(117.450!)]/[(117.480!)/(117.470!)]$


Pertanto la tua, giocando 53 numeri al 10 e lotto (20 numeri estratti) dovrebbe essere:

$1-[(94.054!)/(92.914!)]/[(117.480!)/(116.340!)]$

[kobeilprofeta]

Dalla formula: (T-Q)|(E-Q)*G|Q/T|E
La probabilità di fare terno giocando 6 numeri risulta:
Allora
E=5 (vengono estratti 5 numeri)
T=90 (i numeri possibili sono 90)
Q=3 (devo fare terno=indovinarne 3)
G=6 (ne gioco 6)
T-Q= 90-3=87
E-Q= 5-3=2

Probabilità= $((87!)/(2!)/(85!))*((6!)/(3!)/(3!))/((90!)/(85!)/(5!))$ $= 0,0017$


Invece se giocassi solo 3 numeri, risulterebbe:

(T-Q)|(E-Q)/T|E

E=5 (vengono estratti 5 numeri)
T=90 (i numeri possibili sono 90)
Q=3 (devo fare terno=indovinarne 3)
G=3 (ne gioco 3)
T-Q= 90-3=87
E-Q= 5-3=2

Probabilità= $((87!)/(2!)/(85!))/((90!)/(85!)/(5!))$ $= 0,000085$


In questo caso sembrerebbero accettabili entrambi, ma facendo l'esempio dei 53 numeri giocati al 10elotto mi accorgo che la formula contiene un errore quando G è diverso da Q

[superpippone]

Ciao.
C'è un piccolo errore nella tua formula. Errore che commettevo anch'io fino a un paio di giorni fa.
Il risultato di 0,0017 è corretto, ma solo perchè parliamo di terni: 117.480 possibili, 20 giocati, 10 usciti. E la differenza è qualche decimale poco significativo.
Per farti capire meglio, proviamo qualcosa di più semplice: la possibiltà di imbroccare un numero su una ruota.

Giocando un numero, la possibilità di vincita è ovviamente $5/90$ ovvero $5,555555555%$

Ma se aumentiamo i numeri giocati?
Usando il tuo sistema, giocando 19 numeri, si avrebbe una possibilità superiore al 100%. Cosa impossibile, dato che possono benissimo venire estratti 5 degli altri 71 numeri.
Bisogna mettere un correttivo.
Io penso che bisogna trovare la probabilità di "non vincere", e poi per differenza si trova quella di vincere.
P.S. Perchè non scrivi le formule in maniera corretta? Basta mettere il $ prima e dopo.

[kobeilprofeta]

Quindi faccio $1-((1- (((T-Q)!))/(((E-Q)!)*((T-Q-E-Q)!)))*(G!)/((Q!)*((G-Q)!)))$
Giusto?
Mi sa che sono entrato in crisi sul finale (eppure dovrebbe essere semplice...)

[superpippone]

Io direi


$1-{((T-([G!*Q!]/[(G-Q)!]))!]/[(T!)-([G!*Q!]/((G-Q)!))-(E!)/[(E-Q)!*(Q!))]*[T-(E!)/[(E-Q)!*Q!]]/(T!)}$



La formula non è ancora completa. Ci stò lavorando.

[superpippone]

$1-[[(T!)/[Q!*(T-Q)!]-(G!)/[Q!*(G-Q)!]]!]/[[(T!)/[Q!*(T-Q)!]-(G!)/[Q!*(G-Q)!]-(E!)/[Q!*(E-Q)!]]!]*[[(T!)/[Q!*(T-Q)!]-(E!)/[Q!*(E-Q)!]]!]/[[(T!)/[(Q!)*(T-Q)!]]!]$

Ecco questo è il mostro finale.
Salvo errori od omissioni è la formula finale.
Poichè il simbolo $Q!$ compare in TUTTI i denominatori, si può tranquillqmente eliminare, così la formula si alleggerisce.
Inoltre nel caso $E = Q$ o $G = Q$ o addirittura $Q = G = E$ a tutte le frazioni il cui denomitare vale $0$, viene attribuito il valore $1$.
Spero di essere stato chiaro e preciso.

[kobeilprofeta]

Scusa ma non l'ho capita la formula! Potresti gentilmente spiegarmela?

Ps: non c'entra molto, ma leggendo la tua frase "ai denominatori che valgono 0, attribuisci valore 1" mi è venuta in mente una cosa: esiste la funzione inversa del fattoriale? Perche in questo esempio sarebbe comoda: chiamiamola $W(x)$. Mettiamo il caso che al denominatore ci sia un $4$ ed uno $0$: in questo caso faremmo $w(4!)$ e $w(0!)$ che darebbero rispettivamente $4$ ed $1$ (mettendo anche una specie di valore assoluto che prende solo i numeri >0)
Giusto per fare un esempio molto simile per rendere chiaro ciò che intendo:
C'è questa regola: se il numero è negativo, diventa positivo.
Prendiamo il $4$ ed il $-3$. Io farei $sqrt(4^2)$ e $sqrt((-3)^2)$ che darebbe 4 e 3. Sempre se si considerano le soluzioni >0.