forma differenziale lungo la curva

Messaggioda stella90992 » 06/06/2013, 09:42

Salve a tutti devo risolvere questa forma differenziale ... Nell'esercizio è richiesto " Dire se la forma differenziale
$ omega = 1 / (x+y) dx - x/ [(x+y) (y)] dy $ è esatta e calcolare l'integrale lungo la curva $ Gamma $ dove
$ Omega = { (x,y) in R^2 : x > 0 , y > 0 } $
$ Gamma : { ( x= t ),( y = t^2 + 1):} t in [0,1] $

ho gia verificato che la forma differenziale sia esatta ma non so come calcolare l integrale lungo la curva
stella90992
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Re: forma differenziale lungo la curva

Messaggioda TeM » 07/06/2013, 11:13

Ciao stella90992, innanzitutto ben iscritta :-)

Dunque, data la forma differenziale \[ \omega := \frac{1}{x+y}\,dx - \frac{x}{y\,\left(x+y\right)}\,dy \] vogliamo verificare se è esatta in \[ \Omega := \left\{ (x,\,y)\in\mathbb{R}^2 : x > 0, \; y > 0 \right\} \] e successivamente calcolare l'integrale curvilineo \[ \int_{\Gamma} \omega \] dove \[ \Gamma(t) := \left( t, \; t^2+1 \right) \; \; \; per \; t \in [0, \; 1] \; . \]
Come credo avrai già constatato, \(\omega\) è una forma differenziale chiusa in \(\Omega\) dato che si ha \[ \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{1}{x+y} \right) = - \frac{1}{(x+y)^2} = \frac{\partial}{\partial x} \left(- \frac{x}{y\,\left(x+y\right)} \right), \; \; \; \forall\,(x,\,y)\in\Omega \, .\] Inoltre, dato che si verifica molto facilmente che \(dom[\omega] \supset \Omega \), insieme semplicemente
connesso
(ossia senza tagli e buchi), possiamo affermare con certezza che \(\omega\) è esatta in \(\Omega\).

A questo punto, prima di imbatterci nel calcolo dell'integrale, è bene fare una piccola riflessione.
Dato che \(\Gamma \subset \Omega\), insieme in cui sappiamo che \(\omega\) è esatta, ivi certamente esiste una funzione \(\eta\)
tale per cui \(d\eta = \omega\). Dunque si ha \[ \int_{\Gamma} \omega = \int_{\Gamma(0)}^{\Gamma(1)} d\eta = \eta(1,\,2) - \eta(0,\,1) \; . \] Quindi, in sostanza, per risolvere quest'ultima richiesta del problema, è sufficiente determinare \(\eta\)
integrando la forma differenziale \(\omega\). Ne sei in grado? Non avere timore, mostra i tuoi passaggi, le
tue idee, che ne discutiamo assieme ;)
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Re: forma differenziale lungo la curva

Messaggioda stella90992 » 07/06/2013, 13:16

Non ho capito... Questo esercizio va risolto sostituendo alla forma differenziale i parametri della curva alla x e alla y oppure trovando il potenziale?
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Re: forma differenziale lungo la curva

Messaggioda TeM » 07/06/2013, 13:27

stella90992 ha scritto:Questo esercizio va risolto sostituendo alla forma differenziale i parametri della curva alla x e alla y?

Tradotto, applicando la definizione di lavoro (ossia la definizione di integrale curvilineo di seconda specie).

stella90992 ha scritto:Questo esercizio va risolto trovando il potenziale?

Ossia applicando il teorema sulle forme differenziali esatte (bada bene che, correttamente, si parla di potenziale qualora si abbia a che fare con i campi vettoriali mentre si parla di primitiva nel caso in cui si tratta di forme differenziali).

Pignolerie a parte, l'esercizio non impone alcun vincolo sul tipo di risoluzione. Sta a te fiutare la via più indolore e soprattutto più rapida. In questo caso, non a caso, ti hanno guidata nella verifica dell'esattezza di \(\omega\) per facilitare
la scelta: l'applicazione del suddetto teorema. :-)
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Re: forma differenziale lungo la curva

Messaggioda stella90992 » 07/06/2013, 13:44

trovo la primitiva per $ omega $
integrando la funzione più semplice in questo caso quella in dx
quindi:

$ int 1 / (x+y) dx = log(x+y) $ + c(y)

adesso devo derivare il risultato dell integrale rispetto a y

$ (partial^. f1)/(partial y) = 1/(x+y) $

adesso devo uguagliare questa derivata alla funzione che non ho integrato


$ c'(y) = 1/(x+y) = -x / [(x+y) (y) $ posso scriverla come $ 1/(x+y) = 1/(x+y) * -x/y $
$ c'(y) = -x/y $

devo trovare c(y) e quindi farò l integrale
$ -x int 1/y dy $ = $ -x log y $

quindi F = log(x+y) - xlog y


spero che non ci siano errori almeno fino a questo punto
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Re: forma differenziale lungo la curva

Messaggioda TeM » 07/06/2013, 14:07

Purtroppo non ci siamo, vediamo di mettere un po' di ordine nei passaggi e trovare l'errore.

Come hai ben scritto, una buona scelta è quella di integrare la componente più semplice, dunque \[ \int \frac{1}{x+y}\,dx = \log|x+y| + c(y) \; . \] A questo punto, derivando tale risultato ed uguagliandolo alla seconda componente di \(\omega\), si ha \[ \frac{1}{x+y} + c'(y) = - \frac{x}{y\,(x+y)} \; \; \Leftrightarrow \; \; c'(y) = - \frac{x}{y\,(x+y)} - \frac{1}{x+y} \; \; \Leftrightarrow \; \; c'(y) = - \frac{1}{y} \; . \] Non rimane che integrare quest'ultima equazioncina differenziale \[ c(y) = \int - \frac{1}{y}\,dy = - \log|y| + c \] per determinare una primitiva di \(\omega\), ossia \[ \eta(x,\,y) = \log|x+y|-\log|y| = \log\left|\frac{x+y}{y}\right| \; . \] A questo punto, riagganciandoti alla parte finale della mia prima risposta, sapresti concludere l'esercizio? :-)
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Re: forma differenziale lungo la curva

Messaggioda stella90992 » 07/06/2013, 14:15

sinceramente sto leggendo la formula che mi avevi scritto sopra però non so cosa fare dopo essermi trovata la primitiva :(
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Re: forma differenziale lungo la curva

Messaggioda TeM » 07/06/2013, 14:20

stella90992 ha scritto:sto leggendo la formula che mi avevi scritto sopra però non so cosa fare dopo essermi trovata la primitiva

Spiegati meglio. Cosa non capisci in particolare?
Il perché di tale "formula" oppure qualcosa di più "pratico" come il calcolo di \(\eta(1,\,2)\) ? :-)
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Re: forma differenziale lungo la curva

Messaggioda stella90992 » 07/06/2013, 14:25

si esatto
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Re: forma differenziale lungo la curva

Messaggioda TeM » 07/06/2013, 14:36

Ad una domanda che consta di due opzioni tu rispondi

stella90992 ha scritto:si esatto

Io ora che dovrei scrivere?
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