Applicazione lineare... insieme!

[Alfy88]

Salve ragazzi... ho un quesito da sottoporvi: l'ho già risolto e spero lo abbia fatto nel modo corretto! Mi aiutate?

Considerata l’'applicazione lineare $ varphi: R^3 -> R^3 $ definita da:

$ varphi_k(a_1, a_2, a_3) = (a_1 + a_3, a_2 - a_3; a_1 - a_2 + ka_3) $

discutere, al variare del parametro $ k $, quando $ varphi_k $ è un isomorfi…smo.

Nel caso in cui $ k = 2 $:

1) determinare $ varphi^-1(1,1,0) $;
2) determinare $ dimImvarphi $ e $ dimKervarphi $;
3) Sempre nel caso $ k = 2 $ l'’endomorfi…smo $ varphi_2 $ è diagonalizzabile? Se sì diagonalizzarlo.

Il primo passo è quello di capire per quali valori del parametro $ k $ l'applicazione lineare è isomorfa. Una applicazione lineare è un isomorfismo quando è biettiva, cioè contemporaneamente iniettiva e suriettiva, e ancora quando, nel nostro caso, $ dimImvarphi=3 $ e $ dimKervarphi=0 $. La matrice associata all'applicazione lineare rispetto alla base canonica $ B= {(e_1,e_2,e_3)} $ è:

$ A_varphi=( ( 1 , 0 , 1 ),( 0 , 1 , -1 ),( 1 , -1 , k ) ) $

affinchè si verifichino le suddette condizioni, il rango della matrice $ A_varphi $ deve essere massimo; cioè deve essere $ detA_varphi!=0 $. Se i miei calcoli sono giusti $ detA_varphi=0 $ quando $ k=2 $. Quindi per tutti i valori di $ k - {2} $ l'applicazione lineare è un isomorfismo Giusto?

1) Nel caso in cui $ k=2 $ determiniamo $ varphi^-1(1,1,0) $ risolvendo il sistema lineare $ Sigma $ che ha come matrice dei coefficienti:

$ A_varphi=( ( 1 , 0 , 1 ),( 0 , 1 , -1 ),( 1 , -1 , 2 ) ) $

$ Sigma= { ( x+z=1 ),( y-z=1 ),( x-y+2z=0 ):} $

una cui soluzione dovrebbe essere $ S_Sigma={(1-t,t+1,t):t in R} $

Questo sigifica che sono infitini gli elementi del dominio che hanno come immagine $ (1,1,0) $? Sono pervenuto a questo procedimento semplicemente ricordando la definizione del $ Ker $ con il quale troviamo tutti gli elementi del dominio la cui immagine è $ (0,0,0) $... è giusto? Una applicazione per essere invertibile non dovrebbe essere biettiva e nel nostro caso non lo è?

2) Chiaramente considerando la matrice associata all'applicazione lineare nel caso in cui $ k = 2 $, si ha che il rango di $ A_varphi $ è uguale a $ 2 $ (se i calcoli sono corretti), da cui discende immedatamente che $ dimImvarphi=2 $ e $ dimKervarphi=1 $. E' giusto?

3) Affinchè l'applicazione lineare sia diagonalizzabile lo deve essere la matrice associata giusto? Il polinomio caratteristico della matrice $ A_varphi $ nel caso in cui $ k=2 $ dovrebbe essere: $ (lambda-1)^2(lambda-2) $ le cui radici sono $ lambda=1$ con $ m_a(1)=2 $ e $ lambda=2 $ con $ m_a(2)=1 $. Siamo sicuri che $ m_g (2)=1 $ mentre per quanto riguarda la molteplicità geometrica dell'autovalore $ lambda=1 $ essa non è così avvia; andando a calcolare le dimensioni del sottospazio $ V_1 $ relativo all'autovalore $ lambda=1 $ ho che la dimensione di tale sottospazio è $ 1 $ cosicchè l'applicazione lineare non è diagonalizzabile in quanto non lo è la sua matrice associata.

Ragazzi è tutto giusto? Un compito fatto così è soddisfacente?

[Alfy88]

Up... ho l'esame ragazzi

[Alfy88]

Ragazzi vi prego...

[vict85]

La prima parte mi sembra giusta. Per il punto 3 invece qualcosa non quadra: il determinate è zero e il rango è 2 quindi ci deve essere un autovalore uguale a 0. Quindi hai sbagliato a calcolare il polinomio caratteristico.

[ciampax]

L'applicazione è un isomorfismo per $k\ne 2$, come hai dimostrato.
1) Quello che dimostri è che la "controimmagine" del vettore $(1,1,0)$ è uno spazio vettoriale e va benissimo così. Il fatto che non esista l'inversa (visto che non è biiettiva) non implica che tu non possa trovare i valori del dominio che vadano mandati in un valore specifico del codominio
2) giusto.
3) il polinomio caratteristico è $\lambda(\lambda-3)(1-\lambda)$: ricalcolalo.

[Alfy88]

Grazie mille ragazzi... vi sono grato! In effetti ho sbagliato il calcolo e rifacendolo è giusto quanto dite! Grazie di cuore...

[Alfy88]

Salve ragazzi... ho un quesito da sottoporvi, sulla scia del primo! Mi sono trovato di fronte ad uno di questi esercizi:

Siano $ varphi : R^2->R^3 $ e $ psi : R^3->R^2 $ due applicazioni lineari così definite:

$ varphi(x_1, x_2) = (x_1, x_2, x_1) $

$ psi_t(x_1, x_2, x_3) = (tx_1 + x_2 + tx_3, x_1 + x_2 + x_3) $

1) scrivere le matrici $A'$ e $A$ tassociate a $varphi$ e $psi_t$;
2) determinare $f_t = varphi @ psi_t$ e la matrice $A_(f_t)$
3) discutere la dimensione di $Im f_t$ al variare di $t$; se $t = 1$ determinare $Im f_1$ e una sua base;
4) l'endomorfsmo $f_t$ è diagonalizzabile? Nel caso in cui $t = 0$ diagonalizzarlo.

Praticamente l'esercizio è del tutto simile al precedente... l'unico problema è calcolare $f_t = varphi @ psi_t$. Si fa mica in questo modo?

$f_t = varphi @ psi_t = varphi(psi_t)$

se è giusto, come si procede? Grazie in anticipo miei cari

[ciampax]

Una volta che hai le matrici, diciamo $\Phi$ e $\Psi_t$, allora la matrice associata a $f_t$ risulta
$$F_t=\Phi\cdot\Psi_t$$
con il prodotto di matrici. Determinare allora come è fatta $f_t$ è immediato (anche se ti serve relativamente, visto che ne hai già la matrice che la rappresenta).

[Alfy88]

Una volta che hai le matrici, diciamo $\Phi$ e $\Psi_t$, allora la matrice associata a $f_t$ risulta
$$F_t=\Phi\cdot\Psi_t$$
con il prodotto di matrici. Determinare allora come è fatta $f_t$ è immediato (anche se ti serve relativamente, visto che ne hai già la matrice che la rappresenta).

Quindi comporre le due applicazioni lineari si riconduce ad una semplice moltiplicazione di matrici? Le matrici $\Phi$ e $\Psi_t$ sono le matrici associate ad ogni singola applicazione lineare?

[garnak.olegovitc]

Quindi comporre le due applicazioni lineari si riconduce ad una semplice moltiplicazione di matrici?

più che altro come ha già scritto ciampax "il prodotto delle due matrici è la matrice associata all'applicazione lineare composta.."