Equazione di Laplace -Problema di Dirichlet

Messaggioda Camillo » 21/09/2013, 18:38

Ho provato a risolvere il problema sul cerchio unitario :

$Delta u = 0 $
$u(1,theta)= cos^2( theta) = f(theta ) $

in due modi diversi.
Il primo è il metodo di separazione delle variabili che porta facilmente al risultato, il secondo applicando la formula di Poisson con la quale si perviene a un integrale di cui non intravedo la soluzione.
Avendo provato anche con altri problemi e non avendo ottenuto un risultato, mi è venuto il dubbio che la formula di Poisson sia sintetica ed elegante ma poco pratica.

A) Metodo di separazione delle variabili
E’ necessario sviluppare il dato $f(theta)=cos^2 (theta) $ in serie di Fourier.
Essendo $ cos (2theta)= cos^2(theta)-sin^2(theta)= 2 cos^2(theta)-1 $ si ottiene subito lo sviluppo in serie : $cos^2( theta) = ½+1/2cos (2theta)$.
La formula risolutiva per l’incognita $u(rho, theta) $ è :
$u(rho,theta)= (alpha_0)/2 +sum_(n=1)^oo (rho/R)^n [ alpha_n cos (ntheta) + beta_n sin( ntheta)]$.
In questo caso è : $R=1 ;beta_n=0 ;alpha_2=1/2 $ e quindi la soluzione è :
$u(rho,theta) = ½+1/2 rho^2 cos (2theta) $ che in forma cartesiana vale $u(x,y)= ½+1/2 rho^2(x^2/((rho)^2)-y^2/((rho)^2))=1/2(1+x^2-y^2)$ essendo $cos (2theta) = cos^2(theta)-sin^2(theta)= x^2/(rho^2)-y^2/(rho^2)$.
Metto in spoiler la verifica del Teorema della media per la funzione armonica $u(rho,theta) $

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
$u(0, theta)=1/2$ ; valor medio =$ 1/(2pi) int_(-pi)^(pi) f(theta)d(theta)= 1/(2pi) int_(-pi)^(pi)cos^2(theta) d(theta) =1/2.$
.

B) Formula integrale di Poisson
La formula è :$u(rho,theta)= 1/(2pi) int_(-pi)^(pi) f(s)[(R^2-rho^2)/(R^2+rho^2-2rho R cos (theta-s) ]ds $.
Nel caso nostro è : $R=1 ; f(s)= cos^2s $ per cui

$u(rho,theta) = (1-rho^2)/(2pi) int_(-pi)^(pi) (cos^2s*ds)/(1+rho^2-2rhocos(theta-s) $.
Come si prosegue per pervenire al risultato già noto ??
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Re: Equazione di Laplace -Problema di Dirichlet

Messaggioda Rigel » 21/09/2013, 20:18

L'integrale è piuttosto rognoso. Per semplificarlo un po' (e renderlo digeribile, ad esempio, a Mathematica), puoi fare il cambio di variabile \(t = \theta-s\) e poi usare la periodicità per riscrivere nuovamente l'integrale in \([-\pi, \pi]\).
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Re: Equazione di Laplace -Problema di Dirichlet

Messaggioda Raptorista » 22/09/2013, 21:10

Indipendentemente da come si svolge quell'integrale, la potenza della formula di Poisson sta nel fatto che ti dà la forma analitica della soluzione; separare le variabili è un giochino che funziona bene in dimensione due, dove il laplaciano non è rognoso ed i conti si possono fare; in dimensione tre o addirittura superiore la separazione di variabili è pressoché impossibile, nel caso migliore vai a perderti in funzioni speciali [Bessel e compagnia] e quindi ti trovi a dover scegliere se risolvere numericamente una PDE oppure un integrale. E l'integrale è di gran lunga più facile.
Un matematico ha scritto:... come mia nonna che vuole da anni il sistema per vincere al lotto e crede che io, in quanto matematico, sia fallito perché non glielo trovo


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Re: Equazione di Laplace -Problema di Dirichlet

Messaggioda gugo82 » 23/09/2013, 00:08

@ Camillo: C'è un altro modo per risolvere... Tutto basato su algebra/trigonometria di base e su un educated guess. :lol:

Se:
\[
\begin{cases}
x=\cos \theta\\
y=\sin \theta
\end{cases}
\]
è la parametrizzazione del bordo, si ha:
\[
\cos^2 \theta =x^2\; ,
\]
ma la funzione \(u(x,y):=x^2\) (pur soddisfacendo la condizione al bordo) non risolve la PDE.
Tuttavia, si ha:
\[
\begin{split}
\cos^2 \theta &= \frac{1}{2}\ 2\ \cos^2 \theta\\
&= \frac{1}{2}\ \big( \cos^2 \theta + \cos^2 \theta \big)\\
&= \frac{1}{2}\ \big( \cos^2 \theta - \sin^2 \theta +1\big)\\
&= \frac{1}{2}\ (x^2-y^2+1)\; ,
\end{split}
\]
e la funzione \(u(x,y):= \frac{1}{2}\ (x^2-y^2+1)\) è un polinomio armonico (ergo essa risolve l'equazione di Laplace nel disco) soddisfacendo nel contempo la condizione iniziale. Pertanto tale \(u\) è l'unica soluzione del problema di Dirichlet. :wink:
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
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Re: Equazione di Laplace -Problema di Dirichlet

Messaggioda Camillo » 23/09/2013, 16:12

Tre risposte interessanti e diverse ; seguiranno i miei commenti :D
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Re: Equazione di Laplace -Problema di Dirichlet

Messaggioda Camillo » 28/09/2013, 16:05

@ Rigel : non ho Mathematica, ho provato a risolvere l'integrale con Wolphram ma niente da fare...

@Raptorista : certamente il metodo di separazione delle variabili con 3 variabili forse ancora regge ma poi a dimensioni maggiori va KO.
La formula di Poisson è invece di grande generalità e l'integrale è aggredibile più facilmente che non la risoluzione numerica di una PDE.Però ... trovo la Formula di Poisson "unfriendly" :D

@ gugo 82 : Mi è piaciuta la frase " educated guess " e trovo il metodo di soluzione "very smart" anche se adatto a casi semplici penso.
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Re: Equazione di Laplace -Problema di Dirichlet

Messaggioda Raptorista » 28/09/2013, 19:11

Dubito che lo stesso Poisson si divertisse a smontare integrali giganteschi per il solo gusto di applicare la sua formula :)
Essa ha tuttavia proprietà notevoli: tra le altre, afferma che la soluzione è \(C^\infty\), e questo poi ha altre conseguenze.
Un matematico ha scritto:... come mia nonna che vuole da anni il sistema per vincere al lotto e crede che io, in quanto matematico, sia fallito perché non glielo trovo


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