[EX] Radici polinomio

Messaggioda DavideGenova » 05/10/2013, 22:17

Ciao, amici! Trovo sul mio libro di algebra, il Bosch, un esercizio (2.6, Es. 4) che mi ha lasciato perplesso: "sia $K$ un campo e sia $f=X^3+aX+b\in K[X]$ un polinomio che si spezza totalmente in fattori lineari. Si dimostri che, se il ''discriminante'' $\Delta=-4a^3-27b^2$ non è nullo, allora le radici di $f$ sono a due a due distinte." Ora, io direi che le tre radici sono a due a due distinte, per qualunque campo $K$, se e solo se $f'=3X^2+a\ne 0$, ma non vedo da dove abbia origine quel $\Delta$..., anche perché il mio testo non è solito presentare esempi di natura così "numerica"...
Qualcuno ha qualche idea?
$\infty$ grazie a tutti!!!
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Re: [EX] Radici polinomio

Messaggioda Pappappero » 06/10/2013, 00:00

Quello che dici non e' del tutto vero. Un elemento di $K$ $x_0$ e' una radice doppia di un polinomio $f$ se e solo se $f(x_0) = f'(x_0) = 0$. Tuttavia, se $f$ ha radici distinte, la derivata puo' essere nulla da qualche parte (lontano dalle radici). Pensa ad esempio a una cubica con tre radici distinte sul campo reale: se disegni il grafico, hai massimi e minimi e in corrispondenza di quei massimi e minimi la derivata sara' $0$.

Dietro a quel $\Delta$ c'e' una teoria molto estesa e interessante. In generale, dato un polinomio $f$ (di un grado qualsiasi), che si spezza su $K$, definiamo il discriminante di $f$ come segue:
\[
\Delta(f) = \prod_{i < j} (a_i - a_j)^2,
\]
dove $a_k$ sono le radici di $f$ in $K$, ripetute se hanno molteplicita' (e il quadrato sta li' perche' non vogliamo che $\Delta$ dipenda dall'ordine in cui prendiamo le radici, e quindi usiamo quel quadrato per cancellare un segno che potrebbe venir fuori cambiando l'ordine). E' chiaro che quel $\Delta$ e' zero se e solo se $f$ ha una radice multipla. Ora, basta osservare che nel nostro caso quel $\Delta$ e' proprio $-4a^3-27b^2$. Prova a scrivere $f = (x-a_1)(x-a_2)(x-a_3)$, sviluppi, imponi che il coefficiente di $x^2$ sia nullo e ti calcoli $-4a^3-27b^2$, dovrebbe tornarti proprio uguale a quella produttoria calcolata con le tre radici.

Questo conto dovrebbe essere da qualche parte all'inizio del testo di Gelfand Kapranov Zelevinski, che e' un testo avanzato molto bello su questa toeria, ma a quel che ricordo il primo capitolo (se togliamo la definizione delle varieta' duali) non e' troppo complesso e fornisce qualche esempio interessante.

Postilla finale: nel tuo esempio non serve perche' basta sviluppare tutto e le cose tornano, ma in generale, in questa teoria, e' buona cosa supporre che la caratteristica di $K$ sia diversa da $2$, altrimenti tutti quei quadrati si spezzano e un sacco di cose diventano $0$.
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Re: [EX] Radici polinomio

Messaggioda DavideGenova » 06/10/2013, 14:43

Pappappero ha scritto:Un elemento di $K$ $x_0$ e' una radice doppia di un polinomio $f$ se e solo se $f(x_0) = f'(x_0) = 0$. Tuttavia, se $f$ ha radici distinte, la derivata puo' essere nulla da qualche parte (lontano dalle radici).

Certo: sono stato molto impreciso, sottintendevo "sostituendo a $X$ una radice" e così come ho scritto sembrava che la derivata dovessere essere il polinomio nullo, che è l'unico che ha 0 come immagine dell'omomorfismo di valutazione per ogni elemento del campo.

Pappappero ha scritto:Dietro a quel $\Delta$ c'e' una teoria molto estesa e interessante.

Grazie di cuore! Non sapevo nulla del determinante che non fosse quello dell'equazione di secondo grado... Molto interessante: i conti mi tornano, tenendo conto che $a_3=-a_1-a_2$ è condizione necessaria e sufficiente affinché sia nullo il coefficiente di $X^2$.
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Re: [EX] Radici polinomio

Messaggioda Pappappero » 06/10/2013, 21:18

Discriminante...non determinante...che tuttavia sono parenti, in quanto il discriminante può essere visto come determinante di una particolare matrice associata al polinomio!! Non a caso GKZ (il testo che ti ho citato prima) si intitola Discriminants, Resultants and Multidimensional Determinants.
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Re: [EX] Radici polinomio

Messaggioda DavideGenova » 06/10/2013, 22:25

Uh, sì, lapsus linguae... :oops:
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