Cardinalità dell'insieme di Vitali

[iDesmond]

Salve a tutti, proprio ieri ho avuto un'interessante discussione con il mio professore di Analisi (però ho deciso di fare il post qui dato che riguarda gli insiemi su $RR^N$). Ci stava mostrando l'insieme di Vitalicome esempio di insieme non misurabile secondo Lebesgue, mi è sorto il dubbio circa la sua cardinalità.

Non può essere numerabile perchè qualsiasi insieme numerabile di punti su $RR^N$ ha misura nulla(di questo ho la dimostrazione) e penso che non possa avere cardinalità maggiore del continuo perché si ottiene quozientando proprio $RR$(ma questo non so se è un teorema, un'ipotesi o nessuna delle due è solo un mio pensiero, correggetemi se sbaglio)!

Dunque che cardinalità ha questo insieme? Rispondere a questa domanda è equivalente all'ipotesi di Cantor?
Non esiste nessun insieme la cui cardinalità è strettamente compresa fra quella dei numeri interi e quella dei numeri reali.


Qualcuno sa dirmi qualcosa di più?
Vi ringrazio!
Fabio

[j18eos]

...Non può essere numerabile perchè qualsiasi insieme numerabile di punti su $ RR^N $ ha misura nulla(di questo ho la dimostrazione) e penso che non possa avere cardinalità maggiore del continuo perché si ottiene quozientando proprio $ RR $(ma questo non so se è un teorema, un'ipotesi o nessuna delle due è solo un mio pensiero, correggetemi se sbaglio)!...

Quest'ultimo è un teorema; ma non ricordo come formulartelo in generale (servono i numeri cardinali)...

Mi limito a risponderti che sì: serve l'ipotesi del continuo o di Cantor per dimostrare la tesi!

Che poi la non numerabilità dell'insieme di Vitali sia equivalente all'ipotesi di Cantor lo dubito!

[iDesmond]

Grazie j18eos, nessun altro vuole esprimere il suo parere?

[j18eos]

In altro modo: l'insieme di Vitali \(\displaystyle V\) è più che numerabile perché non ha misura nulla, sai che esiste una suriezione da \(\displaystyle\mathbb{R}\) su \(\displaystyle V\), per l'assioma della scelta hai che esiste una iniezione da \(\displaystyle V\) ad \(\displaystyle\mathbb{R}\), applichi l'ipotesi di Cantor ed hai risolto il dubbio!

[iDesmond]

Sì sì mi torna, il dubbio vero è se si possa trovare la cardinalità dell'insieme di Vitali senza usare quella ipotesi :rolleyes:

[j18eos]

La risposta è no, cioè: spigolando su wikipedia (ierisera) ho letto che ti servono sia l'AC che la CH.

[iDesmond]

La risposta è no, cioè: spigolando su wikipedia (ierisera) ho letto che ti servono sia l'AC che la CH.

Scusa la mia ignoranza, mi puoi esplicitare quelle sigle?

[j18eos]

AC: Axiom of Choice

CH: Continuum Hypothesis

[_fabricius_]

La cardinalità dell'insieme di Vitali è la stessa di $RR$, e ciò senza assumere l'ipotesi del continuo.
La relazione di equivalenza suddivide $RR$ in classi di equivalenza numerabili. Ossia $RR = uuu_{i in V} [i]$ laddove V è l'insieme di Vitali, l'unione è disgiunta.
Ora, tale unione è in corrispondenza biunivoca col prodotto cartesiano $NNxxV$, dal momento che ogni classe è numerabile, e dunque deve valere: $|NNxxV|=|RR|$. (In pratica ciascuna colonna contiene una classe di equivalenza)
Tuttavia una nota formula di teoria degli insiemi (equivalente all'assioma della scelta) ci dice che se abbiamo un prodotto cartesiano di due insiemi A e B, di cui almeno uno dei due infinito, vale:
$|AxxB|=max{|A|,|B|}$.
E dunque:
$|NNxxV|=max{|NN|,|V|}=|V|=|RR|$.

[iDesmond]

No aspetta, un momento:
Da Wikipedia:

Si considera l'insieme di tutte le classi di equivalenza indotte dalla relazione appena definita. Queste devono essere una infinità non numerabile, poiché se fossero un'infinità numerabile avremmo che l'insieme [0,1] stesso sarebbe numerabile (in quanto unione numerabile di insiemi numerabili).


Risposta un po' tarda, ma spero che leggerai!