Mi trovo facendo e dimostro che \(C(p) := \frac{\pi}{\sin \frac{\pi}{p}}\) è la costante migliore nella disuguaglianza generalizzata:
\left| \intop_0^\infty \intop_0^\infty \frac{f(x)\ g(y)}{x+y}\ \text{d} x\text{d} y\right|\leq C\ \| f\|_p\ \| g\|_{p^\prime}
C(p) = \min \underbrace{\{ C>0:\ \text{(H) vale per ogni } f\in L^p(0,\infty) \text{ e } g\in L^{p^\prime}(0,\infty)\}}_{\color{maroon}{=:\mathcal{C}}}\; ,
in cui il simbolo \(\min\) è giustificato dal risultato del post precedente, in cui è dimostrato che \(C(p)\in \mathcal{C}\).
Notato che la condizione \(C(p)\in \mathcal{C}\) può essere espressa in maniera più incisiva mediante la disuguaglianza:
\sup \left\{ \frac{\left| \intop_0^\infty \intop_0^\infty \frac{f(x)\ g(y)}{x+y}\ \text{d} x\text{d} y\right|}{\| f\|_p\ \| g\|_{p^\prime}},\text{ con } f\in L^p(0,\infty),\ g\in L^{p^\prime}(0,\infty) \text{ e } f,g\neq 0\right\} \leq C(p)\; ,
) occorre e basta far vedere che nella precedente disuguaglianza vale, in realtà, l'uguaglianza, cioé che risulta:
\sup \left\{ \frac{\left| \intop_0^\infty \intop_0^\infty \frac{f(x)\ g(y)}{x+y}\ \text{d} x\text{d} y\right|}{\| f\|_p\ \| g\|_{p^\prime}},\text{ con } f\in L^p(0,\infty),\ g\in L^{p^\prime}(0,\infty) \text{ e } f,g\neq 0\right\} = C(p)\; ,
come si può facilmente vedere.
Evidentemente, per acquisire l'uguaglianza (
2), basta esibire una coppia di successioni \((f_n)\subset L^p(0,\infty)\) e \((g_n)\subset L^{p^\prime}(0,\infty)\) tali che:
\[
\tag{3}
\lim_n \frac{\left| \intop_0^\infty \intop_0^\infty \frac{f_n(x)\ g_n(y)}{x+y}\ \text{d} x\text{d} y\right|}{\| f_n\|_p\ \| g_n\|_{p^\prime}} =C(p)\; .
\]
Scegliamo:
\[
f_n(x) := \frac{1}{x^{1/p}}\ \chi_{[1,n[}(x)\qquad \text{e}\qquad g_n(x) := \frac{1}{x^{1/p^\prime}}\ \chi_{[1,n[}(x)
\]
di modo che:
\[
\begin{split}
\| f_n \|_p &= \left( \int_1^n \frac{1}{x}\ \text{d} x\right)^{1/p}\\
&= \left( \log n \right)^{1/p}\\
\| g_n \|_{p^\prime} &= \left( \int_1^n \frac{1}{x}\ \text{d} x\right)^{1/p^\prime}\\
&= \left( \log n \right)^{1/p^\prime}
\end{split}
\]
e dunque:
\[
\tag{4}
\| f_n\|_p\ \| g_n\|_{p^\prime} = \log n\; .
\]
D'altra parte:
\[
\begin{split}
\left| \intop_0^\infty \intop_0^\infty \frac{f_n(x)\ g_n(y)}{x+y}\ \text{d} x\text{d} y\right| &= \intop_1^n \intop_1^n \frac{x^{-1/p}\ y^{-1/p^\prime}}{x+y}\ \text{d} x\text{d} y\\
&= 4\ \intop_1^{\sqrt{n}}\intop_1^{\sqrt{n}} \frac{\xi^{-2/p}\ \eta^{-2/p^\prime}}{\xi^2+\eta^2}\ \xi\ \eta\ \text{d} \xi \text{d} \eta\\
&= 4\ \intop_1^{\sqrt{n}}\intop_1^{\sqrt{n}} \frac{\xi^{1-2/p}\ \eta^{1-2/p^\prime}}{\xi^2+\eta^2}\ \text{d} \xi \text{d} \eta\\
&= 4\ \intop_1^{\sqrt{n}}\intop_1^{\sqrt{n}} \underbrace{\frac{\xi^{2/p^\prime -1}\ \eta^{2/p -1}}{\xi^2+\eta^2}}_{\color{maroon}{=: \Phi (\xi , \eta)}}\ \text{d} \xi \text{d} \eta\; ,
\end{split}
\]
con le sostituzioni usate nella dimostrazione del punto
1, i.e. \(x=\xi^2\) ed \(y=\eta^2\).
Per ottenere una stima dell'ultimo integrale vorrei usare di nuovo le coordinate polari. Per fare ciò noto quanto segue: il quadrato \(Q(n):=[1,\sqrt{n}]^2\) cui è esteso l'ultimo integrale doppio può essere "completato" in modo da includere il quarto di corona:
\[
D(n) := \{(\xi ,\eta):\ \xi, \eta \geq 0,\ 2\leq \xi^2+\eta^2\leq n\}\; ,
\]
poiché invero basta giustapporre a \(Q(n)\) i due rettangolini \(R_v(n) := [0,1]\times [1,\sqrt{n}]\) ed \(R_o(n) := [1,\sqrt{n}]\times [0,1]\) (vedi figura).
La positività dell'integrando \(F(\xi, \eta)\) nel primo quadrante, allora, importa:
\[
\left(\intop_{Q(n)} + \intop_{R_o(n)} +\intop_{R_v(n)}\right) \Phi (\xi ,\eta)\ \text{d} \xi \text{d} \eta \geq \intop_{D(n)} \Phi (\xi , \eta)\ \text{d} \xi \text{d} \eta
\]
ossia:
\[
\tag{5}
\left| \intop_0^\infty \intop_0^\infty \frac{f_n(x)\ g_n(y)}{x+y}\ \text{d} x\text{d} y\right| \geq 4\ \intop_{D(n)} \Phi (\xi , \eta)\ \text{d} \xi \text{d} \eta - 4\ \intop_{R_o(n)} \Phi (\xi , \eta)\ \text{d} \xi \text{d} \eta - 4\ \intop_{R_v(n)} \Phi (\xi , \eta)\ \text{d} \xi \text{d} \eta\; .
\]
Stimiamo i tre addendi a destra di (
5). Abbiamo:
\[
\begin{split}
\intop_{R_o(n)} \Phi (\xi , \eta)\ \text{d} \xi \text{d} \eta &= \intop_1^{\sqrt{n}}\intop_0^1 \frac{\xi^{2/p^\prime -1}\ \eta^{2/p -1}}{\xi^2+\eta^2}\ \text{d}\xi \text{d}\eta \\
&\leq \intop_1^{\sqrt{n}}\intop_0^1 \frac{\xi^{2/p^\prime -1}}{\xi^2}\ \text{d}\xi \text{d}\eta \\
&= \intop_1^{\sqrt{n}}\intop_0^1 \xi^{2/p^\prime -3}\ \text{d}\xi \text{d}\eta \\
&= \intop_1^{\sqrt{n}} \xi^{2/p^\prime -3}\ \text{d}\xi\\
&\leq \intop_1^\infty \xi^{2/p^\prime -3}\ \text{d}\xi\\
&= \left. \frac{1}{2/p^\prime -2}\ \xi^{2/p^\prime -2}\right|_1^\infty\\
&= - \frac{1}{2\ \left( \frac{1}{p^\prime} - 1\right)}\\
&= \frac{p}{2}\\
\intop_{R_v(n)} \Phi (\xi , \eta)\ \text{d} \xi \text{d} \eta &= \intop_0^1 \intop_1^{\sqrt{n}} \frac{\xi^{2/p^\prime -1}\ \eta^{2/p -1}}{\xi^2+\eta^2}\ \text{d}\xi \text{d}\eta \\
&\leq \intop_0^1 \intop_1^{\sqrt{n}} \frac{\eta^{2/p -1}}{\eta^2}\ \text{d}\xi \text{d}\eta \\
&= \intop_0^1 \intop_1^{\sqrt{n}} \eta^{2/p - 3}\ \text{d}\xi \text{d}\eta \\
&= \intop_1^{\sqrt{n}} \eta^{2/p - 3}\ \text{d}\xi \text{d}\eta \\
&\leq \intop_1^\infty \eta^{2/p - 3}\ \text{d}\eta \\
&= \left. \frac{1}{2/p -2}\ \eta^{2/p - 2}\right|_1^\infty\\
&= - \frac{1}{2\ \left( \frac{1}{p} - 1\right)}\\
&= \frac{p^\prime}{2}\; ;
\end{split}
\]
d'altra parte, usando le coordinate polari come nella dimostrazione del punto
1:
\[
\begin{split}
\intop_{D(n)} \Phi (\xi , \eta)\ \text{d} \xi \text{d} \eta &= \intop_{\sqrt{2}}^{\sqrt{n}} \intop_0^{\pi/2} \frac{(r\ \cos \theta)^{2/p^\prime -1}\ (r\ \sin \theta)^{2/p -1}}{r^2}\ r\ \text{d}r \text{d}\theta \\
&= \intop_{\sqrt{2}}^{\sqrt{n}} \intop_0^{\pi/2} \frac{r^{2/p^\prime + 2/p -2}\ \cos^{2/p^\prime -1} \theta\ \sin^{2/p -1} \theta}{r} \text{d}r \text{d}\theta \\
&= \intop_{\sqrt{2}}^{\sqrt{n}} \intop_0^{\pi/2} \frac{r^{2/p^\prime + 2/p -2}\ \cos^{2/p^\prime -1} \theta\ \sin^{2/p -1} \theta}{r} \text{d}r \text{d}\theta\\
&= \intop_{\sqrt{2}}^{\sqrt{n}} \frac{1}{r}\ \text{d} r\cdot \underbrace{\intop_0^{\pi/2} \cos^{2/p^\prime -1} \theta\ \sin^{2/p -1} \theta\ \text{d}\theta}_{\color{maroon}{=C(p)/2}}\\
&= \left. \frac{C(p)}{2}\ \log r\right|_{\sqrt{2}}^{\sqrt{n}}\\
&= \frac{1}{4}\ C(p)\ (\log n - \log 2)\; ;
\end{split}
\]
ergo usando le precedenti in (
5) si trova:
\[
\tag{6}
\begin{split}
\left| \intop_0^\infty \intop_0^\infty \frac{f_n(x)\ g_n(y)}{x+y}\ \text{d} x\text{d} y\right| &\geq 4\ \frac{1}{4}\ C(p)\ (\log n - \log 2) - 4\ \left( \frac{p}{2} + \frac{p^\prime}{2}\right)\\
&= C(p)\ (\log n -\log 2) - 2(p+p^\prime)\; .
\end{split}
\]
Da (
6) e da quanto mostrato in
1 discende allora:
\[
\tag{7}
\frac{C(p)\ (\log n -\log 2) - 2(p+p^\prime)}{\log n} \leq \frac{\left| \intop_0^\infty \intop_0^\infty \frac{f_n(x)\ g_n(y)}{x+y}\ \text{d} x\text{d} y\right|}{\| f_n\|_p\ \| g_n\|_{p^\prime}} \leq C(p)
\]
e da cui la (
3), via il
teorema dei carabinieri. \(\square\)