Matrice risolvente sistema differenziale

[thedarkhero]

Considero l'equazione differenziale omogenea $y'=A(t)y$ con $y\inRR^n$ e $A(t)\inM_n(CC)$.
Se $phi_1$,...,$phi_n$ sono soluzioni dell'equazione differenziale omogenea linearmente indipendenti allora dico che $Phi=[phi_1 ... phi_n]$ è una "matrice risolvente" (è la matrice che ha per colonne n soluzioni linearmente indipendenti).
Voglio provare che ogni altra matrice risolvente della mia equazione differenziale omogenea è un prodotto $Phi*C$ dove $C\inM_n(CC)$ e $"det"(C)!=0$.
Il fatto che $"det"(C)!=0$ è facile in quanto una matrice risolvente deve avere le colonne linearmente indipendenti e quindi il determinante diverso da $0$, allora $"det"(Phi*C)!=0$ cioè $"det"(phi)*"det"(C)!=0$ cioè $"det"(C)!=0$.
Ma riguardo il fatto che tutte le matrici risolventi si ottengono dal prodotto $Phi*C$ come posso fare?

[dissonance]

Non è difficile, si tratta di usare il teorema di esistenza e unicità e un po' di algebra lineare. Se proprio non ce la fai dai un'occhiata al Pagani-Salsa (tra gli altri).

[thedarkhero]

Mmm...potrei chiamare $c_1,...,c_n$ le colonne di $C$.
Dico che la prima colonna di $Phi*C$ è $Phi*c_1$ e dunque è una soluzione di $y'=A(t)y$, e analogamente tutte le altre colonne.
Essendo che il determinante di $Phi*C$ è non nullo per quanto detto nel primo post le n colonne di $Phi*C$ sono linearmente indipendenti e dunque $Phi*C$ è una matrice risolvente.
Ma non ho usato il teorema di esistenza e unicità dunque non sono convinto che questa sia la strada giusta...sono inciampato da qualche parte?

[thedarkhero]

Comunque ho cercato sul Bramanti, Pagani, Salsa, Analisi matematica 2 (intendevi quello?) ma non ho trovato nulla riguardo la matrice risolvente...

[dissonance]

Nel tuo post precedente non hai fatto niente, hai solo ciurlato nel manico.

Comunque il libro che dico io è il Pagani Salsa vecchia edizione. Se non lo trovi cerca in biblioteca il classico Coddington - Levinson oppure su internet il Teschl.

[thedarkhero]

A pagina 83 del Teschl dice che se $U(t)$ è una matrice risolvente allora lo è anche $U(t)C$ dove $C$ è una matrice costante in quanto date due matrici risolventi $U(t)$ e $V(t)$ si ha che $V(t)=U(t)U^-1(t_0)v(t_0)$, ma da dove deriva questa relazione?

[dissonance]

Intanto, $U(t)C$ non è una matrice fondamentale ma semplicemente una matrice soluzione del sistema. Quindi capisci da qui che $U(t)[U(t_0)^{-1}V(t_0)]$ è una matrice soluzione, perché la parte in parentesi quadra è costante. Essa coincide con $V(t)$ per il teorema di unicità: siccome le due matrici coincidono al tempo $t=t_0$, per unicità devono coincidere per tutti i tempi.

[thedarkhero]

Ok, adesso questa parte mi è chiara, grazie!
Ma perchè $U(t)C$ è una matrice risolvente (o matrice soluzione, come dice il libro)?

[dissonance]

Non ci credo che non sai rispondere da solo a questa domanda. Pensa un attimo al caso limite $n=1$. L'equazione è $y'=ay$. Stai dicendo che se \(m\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}\) è una soluzione allora anche $c\cdot m$ è una soluzione, se $c$ è una costante. Cosa vuoi che cambi, nel caso multidimensionale?

[thedarkhero]

Avevo proposto:

Mmm...potrei chiamare c1,...,cn le colonne di C.
Dico che la prima colonna di $PhiC$ è $Phic_1$ e dunque è una soluzione di $y'=A(t)y$, e analogamente tutte le altre colonne.

Intendendo che quindi la matrice $PhiC$ ha le colonne che sono soluzioni di $y'=A(t)y$ ed è dunque la matrice risolvente...ma mi hai scritto che ho ciurlato nel manico