[EX] Una coppia di disuguaglianze inverse

Messaggioda gugo82 » 13/04/2014, 23:35

Esercizio:

Sia \(f:[0,A]\to \mathbb{R}\) una funzione continua e strettamente crescente con \(f(0)=0\).

1. Per ogni \(a\in ]0,A]\) e per ogni \(b\in ]0,f(A)]\) si ha:
\[
\tag{Y}
\int_0^a f(x)\ \text{d} x +\int_0^b f^{-1}(y)\ \text{d} y \geq a\ b\; ,
\]
l'uguaglianza valendo solo se \(b=f(a)\).
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Suggerimento: Basta fare un disegno... :wink:


2. Per ogni \(a\in ]0,A]\) ed ogni \(b\in ]0,f(A)]\) si ha:
\[
\tag{RY}
\min \left\{ 1, \frac{b}{f(a)}\right\}\ \int_0^a f(x)\ \text{d} x + \min \left\{ 1, \frac{a}{f^{-1}(b)}\right\}\ \int_0^b f^{-1}(y)\ \text{d} y \leq a\ b\; ,
\]
l'uguaglianza valendo solo se \(b=f(a)\).
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Suggerimento: Sfruttare le proprietà geometriche delle funzioni \(F(x) := \int_0^x f(t)\ \text{d} t\) o \(\Phi (y) := \int_0^y f^{-1}(s)\ \text{d} s\) (a seconda che \(f(a)\leq b\leq f(A)\) o \(0<b\leq f(a)\)) e la condizione di uguaglianza in (Y).
Ultima modifica di gugo82 il 15/04/2014, 09:30, modificato 1 volta in totale.
Motivazione: Ho reso un po' più esplicito il suggerimento per il punto 2.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
Avatar utente
gugo82
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 16259 di 44915
Iscritto il: 12/10/2007, 23:58
Località: Napoli

Messaggioda Paolo90 » 14/04/2014, 12:49

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
Quella (Y) lì è un nome del tutto fortuito per la formula, ovviamente... :lol: Insomma, ogni riferimento a persone o fatti già conosciuti è del tutto casuale.
:wink:
"Immaginate un bravo matematico come qualcuno che ha preso dal tenente Colombo per le doti investigative, da Baudelaire per l’ispirazione, dal montatore Faussone per il rigore e l’amore per “le cose ben fatte”, da Ulisse per la curiosità, l’ardimento e l’insaziabilità di conoscenza." (AC)
Paolo90
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 4253 di 6328
Iscritto il: 06/08/2005, 14:34

Re:

Messaggioda gugo82 » 14/04/2014, 13:13

Paolo90 ha scritto:
Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
Quella (Y) lì è un nome del tutto fortuito per la formula, ovviamente... :lol: Insomma, ogni riferimento a persone o fatti già conosciuti è del tutto casuale.
:wink:

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
Ovvio... :lol:

Tra l'altro, della (Y) già se n'è parlato altrove sul foro (non ricordo se in un esercizio proposto da me o meno).
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
Avatar utente
gugo82
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 16264 di 44915
Iscritto il: 12/10/2007, 23:58
Località: Napoli

Re: [EX] Una coppia di disuguaglianze inverse

Messaggioda robbstark » 14/04/2014, 18:37

Vado per il primo:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Col disegno ok.

Analiticamente:
Applico la sostituzione \( \displaystyle x = f^{-1}(y) \) . Il primo membro diventa:
\( \displaystyle \int_{0}^{a} f(x) dx + \int_{0}^{f^{-1}(b)} x f'(x) dx \)
Integrando per parti il secondo integrale:
\( \displaystyle \int_{0}^{a} f(x) dx + \left [ x f(x) \right ]_{0}^{f^{-1}(b)} - \int_{0}^{f^{-1}(b)} f(x) dx \)
Indico con $F$ una primitiva di $f$:
\( \displaystyle F(a) - F(0) + b f^{-1}(b) - F(f^{-1}(b)) + F(0) \)

Se \( \displaystyle f^{-1}(b) > a \) , pongo
\( \displaystyle f^{-1}(b) = a + \tau \) , con \( \displaystyle \tau > 0 \)
da cui \( \displaystyle b = f(a + \tau) \)
Sostituendo nell'espressione da calcolare si ottiene:
\( \displaystyle F(a) + ab + b \tau - F(a + \tau) = ab + b \tau - \frac{F(a + \tau) - F(a)}{ \tau} \tau \)
Applicando il teorema di Lagrange su $F$ (che sicuramente soddisfa le ipotesi):
\( \displaystyle ab + b \tau - f( \xi ) \tau \) , con \( \displaystyle a < \xi < a + \tau \)
Essendo \( \displaystyle b = f(a + \tau) \) , allora \( \displaystyle b > f( \xi ) \) perchè $f$ è crescente, da cui la tesi.

Se \( \displaystyle f^{-1}(b) < a \) , si può ripetere lo stesso discorso, ma con \( \displaystyle \tau < 0 \) .
L'espressione si riduce a:
\( \displaystyle ab + b \tau - f( \xi ) \tau \) , con \( \displaystyle a + \tau < \xi < a \)
Stavolta \( \displaystyle b < f( \xi ) \) , ma \( \displaystyle \tau < 0 \) , per cui il risultato non cambia.

Il caso \( \displaystyle f^{-1}(b) = a \) è immediato.
robbstark
Senior Member
Senior Member
 
Messaggio: 774 di 1598
Iscritto il: 04/11/2008, 21:28

Re: [EX] Una coppia di disuguaglianze inverse

Messaggioda gugo82 » 15/04/2014, 09:22

@ robbstark: Carina la dimostrazione con la sostituzione e l'integrazione per parti. :smt023
Però, per farla funzionare, c'è bisogno che \(f\) sia derivabile in \([0,a]\), cosa che non è esplicitamente richiesta nel testo... Tuttavia, aggiungendo questa ipotesi, tutto funziona bene.

Essa può essere semplificata un po' con una piccola variazione:
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Da qui:
\[
\int_0^a f(x)\ \text{d} x + \int_0^b f^{-1}(y)\ \text{d} y = \int_0^a f(x)\ \text{d} x + \left. xf(x)\right|_{0}^{f^{-1}(b)} - \int_0^{f^{-1}(b)}f(x)\ \text{d} x
\]
hai:
\[
\begin{split}
\int_0^a f(x)\ \text{d} x + \int_0^b f^{-1}(y)\ \text{d} y &= \int_{f^{-1}(b)}^a f(x)\ \text{d} x + \left. xf(x)\right|_{0}^{f^{-1}(b)} \\
&= \int_{f^{-1}(b)}^a f(x)\ \text{d} x + b\ f^{-1}(b)\; ;
\end{split}
\]
se \(0<b\leq f(a)\) si ha \(f^{-1}(b)\leq a\) per monotonia, dunque:
\[
\begin{split}
\int_0^a f(x)\ \text{d} x + \int_0^b f^{-1}(y)\ \text{d} y &= \int_{f^{-1}(b)}^a f(x)\ \text{d} x + b\ f^{-1}(b)\\
&\geq \int_{f^{-1}(b)}^a f(f^{-1}(b))\ \text{d} x + b\ f^{-1}(b)\\
&= b\ \left( a-f^{-1}(b)\right) + b\ f^{-1}(b)\\
&= a\ b\; ,
\end{split}
\]
con la minorazione valida ancora per monotonia; analogamente, se \(f(a) \leq b \leq f(A)\) si ha \(a\leq f^{-1}(b)\leq A\) e perciò:
\[
\begin{split}
\int_0^a f(x)\ \text{d} x + \int_0^b f^{-1}(y)\ \text{d} y &= \int_{f^{-1}(b)}^a f(x)\ \text{d} x + b\ f^{-1}(b)\\
&= - \int_a^{f^{-1}(b)} f(x)\ \text{d} x + b\ f^{-1}(b)\\
&\geq -\int_a^{f^{-1}(b)} f(f^{-1}(b))\ \text{d} x + b\ f^{-1}(b)\\
&= -b\ \left( f^{-1}(b)-a \right) + b\ f^{-1}(b)\\
&= a\ b
\end{split}
\]
sempre per monotonia di \(f\). :wink:
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
Avatar utente
gugo82
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 16270 di 44915
Iscritto il: 12/10/2007, 23:58
Località: Napoli

Re: [EX] Una coppia di disuguaglianze inverse

Messaggioda robbstark » 15/04/2014, 23:39

gugo82 ha scritto:
Però, per farla funzionare, c'è bisogno che \(f\) sia derivabile in \([0,a]\), cosa che non è esplicitamente richiesta nel testo...

Già.

gugo82 ha scritto:
Essa può essere semplificata un po' con una piccola variazione:

:smt023
robbstark
Senior Member
Senior Member
 
Messaggio: 779 di 1598
Iscritto il: 04/11/2008, 21:28

Re: [EX] Una coppia di disuguaglianze inverse

Messaggioda gugo82 » 16/04/2014, 00:27

robbstark ha scritto:
gugo82 ha scritto:
Però, per farla funzionare, c'è bisogno che \(f\) sia derivabile in \([0,a]\), cosa che non è esplicitamente richiesta nel testo...

Già.

Però, però... C'è un modo per fare il passaggino senza sporcarsi le mani con la sostituzione e, dunque, senza richiedere derivabilità di \(f\). :-D

Tutto si basa sulla formula di riduzione per gli integrali doppi, applicata intelligentemente ad un appropriato dominio \(D\) normale ad entrambi gli assi.
Invero si ha:
\[
\begin{split}
\int_0^b f^{-1}(y)\ \text{d} y &= \int_0^b \left( \int_0^{f^{-1}(y)}\text{d} x\right)\ \text{d} y\\
&= \iint_D \text{d}x\text{d} y
\end{split}
\]
con:
\[
D:=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2:\ 0\leq y\leq b \text{ e } 0\leq x\leq f^{-1}(y)\}
\]
normale all'asse \(y\); ma essendo \(f\) biiettiva, si ha pure:
\[
D:=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2:\ 0\leq x\leq f^{-1}(b) \text{ e } f(x)\leq y\leq b\}
\]
normale all'asse \(x\), sicché:
\[
\begin{split}
\int_0^b f^{-1}(y)\ \text{d} y &= \iint_D \text{d}x\text{d} y\\
&= \int_0^{f^{-1}(b)} \left( \int_{f(x)}^b\text{d} y\right)\ \text{d} x\\
&= b\ f(b) - \int_0^{f^{-1}(b)} f(x)\ \text{d} x
\end{split}
\]
risultato cui si perveniva per mezzo della sostituzione incriminata. :wink:
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
Avatar utente
gugo82
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 16283 di 44915
Iscritto il: 12/10/2007, 23:58
Località: Napoli

Re: [EX] Una coppia di disuguaglianze inverse

Messaggioda robbstark » 16/04/2014, 01:08

Ecco! Questo sì che mi piace, essendo l'esatta traduzione formale del disegno, che non riuscivo a fare.
robbstark
Senior Member
Senior Member
 
Messaggio: 780 di 1598
Iscritto il: 04/11/2008, 21:28

Re: [EX] Una coppia di disuguaglianze inverse

Messaggioda Federico777 » 16/04/2014, 03:08

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Quando avevo pensato alla mia soluzione non avevo ancora letto la soluzione di Gugo ed ora mi accorgo che forse la mia andrebbe rivista un po... Comunque eccola qui!

>>Iniziamo con lo studio del caso $f(a)=b$
In tal caso io mi sono limitato ad osservare che i due integrali $\int_{0}^{a} f(x) dx , \int_{0}^{b} f^{-1}(y) dy$ coincidono con la misura dei trapezoidi (infatti il grafico di f sta nel primo quadrante) ovvero degli insiemi $A={(x,y) in RR^2 : 0<x<a, 0<y<f(x)}$ e $B={(x,y) in RR^2 : 0<x<f^{-1}(y), 0<y<b}$ i quali formano una partizione(*) dell'insieme $\Omega={(x,y) in RR^2 : 0<x<a, 0<y<b}$ la cui misura è proprio $ab$.
In tal caso è verificata l'uguaglianza.
Infatti $ab=m(\Omega)=m(A)+m(B)= \int_{0}^{a} f(x) dx + \int_{0}^{b} f^{-1}(y) dy$

>>Caso $b<f(a)$
In tal caso
$ab=m(\Omega)=m(C)+m(D)=$

per il punto precedente diventa

$=\int_{0}^{a'} f(x) dx + \int_{0}^{b} f^{-1}(y) dy + m(D)= $

Sfruttiamo la monotonia: per $x>a'$ si ha $0<b<f(x)$ e quindi per una nota proprietà dell'integrale
$\int_{a'}^{a} b dx <= \int_{a'}^{a} f(x) dx$. Da ciò si ha

$=\int_{0}^{a'} f(x) dx + \int_{0}^{b} f^{-1}(y) dy + \int_{a'}^{a} b dx <= $


$<=\int_{0}^{a'} f(x) dx + \int_{0}^{b} f^{-1}(y) dy + \int_{a'}^{a} f(x) dx = $


$=\int_{0}^{a} f(x) dx + \int_{0}^{b} f^{-1}(y) dy $

L'ultima uguaglianza è giustificata dalla proprietà di additività dell'integrale.

dove $b=f(a'), C={(x,y) in RR^2 : 0<x<a', 0<y<b} $
$D={(x,y) in RR^2 : a'<x<a, 0<y<b}$.

>>Caso $b>f(a)$

Si ragiona come in precedenza.


(*)Basta vedere le disequazioni che descrivono gli insiemi. Va ricordato inoltre che il grafico di una funzione ha misura nulla nel piano.
Ultima modifica di Federico777 il 17/04/2014, 04:48, modificato 2 volte in totale.
Federico777
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 98 di 252
Iscritto il: 12/11/2012, 23:52

Re: [EX] Una coppia di disuguaglianze inverse

Messaggioda Federico777 » 16/04/2014, 03:15

Della seconda parte ne parliamo domani :D
Federico777
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 99 di 252
Iscritto il: 12/11/2012, 23:52

Prossimo

Torna a Pensare un po' di più

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 1 ospite