Matrici simili

[Shika93]

Date 2 matrici A e B per verificare se sono simili mi basta vedere che abbiano lo stesso polinomio caratteristico (condizione necessaria ma non sufficiente) e per stare sicuro che siano anche diagonalizzabili? Cioè andando a vedere se la somma della molteplicità geometrica di A e B sia uguale alla dimensione dello spazio in cui sono descritte? Per esempio entrambe quadrate 3x3 la somma deve essere 3

O devo andare a vedere altre caratteristiche?

[Cuspide83]

Le matrici simili oltre al polinomio caratteristico che come hai scritto è una condizione necessaria ma non sufficiente (ovvero puoi avere matrici con stesso polinomio caratteristico che non sono simili), hanno stesso rango stesso determinante e stessa traccia.

[Gi8]

Siano $A$ e $B$ matrici quadrate diagonalizzabili e con lo stesso polinomio caratteristico.

Allora $A= P^-1 D P$ e $B=Q^-1 DQ$ con $P$ e $Q$ matrici invertibili
(e $D$ è la matrice diagonale, che è la stessa per $A$ e per $B$).
Allora $P A P^-1= D= Q B Q^-1=>A= P^-1 QBQ^-1 P=> A= (Q^-1 *P)^-1 *B *(Q^-1 *P)$
Ponendo $C= Q^-1*P$, che è una matrice invertibile dato che $Q$ e $P$ lo sono,
si ottiene $A= C^-1 B C$, cioè $A$ e $B$ sono simili.

[Shika93]

Si, la definizione matematica ce l'ho pure io. Volevo capire nella pratica cosa dovevo fare dato che non ho mai visto applicare quella formula per vedere se erano simili.

Le matrici simili oltre al polinomio caratteristico che come hai scritto è una condizione necessaria ma non sufficiente (ovvero puoi avere matrici con stesso polinomio caratteristico che non sono simili), hanno stesso rango stesso determinante e stessa traccia.

Questo già mi è un po' più chiaro.

Grazie a entrambi!

[Shika93]

Se due matrici hanno il polinomio caratteristico diverso si può dire che non sono simili a priori? O vale sempre la condizione necessaria non sufficiente?