Soluzione particolare di equazione differenziale

[ozzy84]

Ciao a tutti i matematici e non..

Sono alle prese con un'equazione differenziale lineare non omogenea del primo ordine. Sicuramente può risultare estremamente facile per chi mastica equazioni differenziali dalla mattina alla sera.
Purtroppo non è così per me, vi chiedo perciò un consiglio su come affrontarla.

L'equazione incriminata è questa e descrive la forza che subisce un solido di Maxwell a seguito di una deformazione $u = u_0 H(t)$ dove $H(t)$ è la funzione di Heaviside:
$1/k dotF + 1/eta F = u_0 delta(t)$
Dove per $delta(t)$ si intende il delta di Dirac.
La soluzione dell'omogenea si trova con facilità ed è: $F = C e^(-(kt)/eta)$
Come posso procedere per trovare la soluzione della particolare?
Grazie mille a tutti in anticipo.

[gugo82]

Moltiplicando per \(ke^{k/\eta t}\) la EDO membro a membro e tenendo presente che \(\phi(t)\delta(t) =\phi(0)\delta(t)\) per ogni \(\phi \in C^\infty\) a livello distribuzionale, ottieni un'uguaglianza tra due distribuzioni:
\[
\left( e^{k/\eta\ t}\ F(t)\right)^\prime = k\ u_0\ \delta(t)\; .
\]
Conseguentemente hai:
\[
e^{k/\eta\ t}\ F(t) = k\ u_0\ H(t) + C
\]
ossia:
\[
F(t) = \left(k\ u(t) +C\right)\ e^{-k/\eta\ t}\; .
\]
Vedi se, derivando, ti torna.