gugo82 ha scritto:Ingenium ha scritto:Hai ragione, domanda stupida. z=0 è una singolarità isolata, quindi l'integrale è uguale a $ 2pii $ volte il residuo della funzione nel punto z=0, che è uguale al coefficiente della potenza -1esima dello sviluppo di Laurent. E' giusto?
Ma fosse solo lo \(0\) il problema...
Ingenium ha scritto:Se svolgo il calcolo mi aiuteresti a verificare che è giusto?
Certo.
Eccomi, innanzitutto buona Pasqua! Oggi tra tagliatelle e roccobabbà (gugo ho visto che sei di Napoli, mi capirai) mi dedico alla matematica. Ho dovuto riguardare alcune cose, ero un po' confuso; ho svolto l'esercizio, procediamo con calma.
Innanzitutto ho banalmente semplificato la funzione integranda, l'integrale diventa $ oint_(C) z/ (z^2 +2z +2) dz $
Ho trovato gli zeri del denominatore, ne ho dedotto che la funzione è analitica, poiché rapporto tra analitiche,
nel campo $ C -{z=-1+- i} $
Queste sono singolarità isolate, interne alla circonferenza, da classificare.
Riscrivo l'integrale come $ oint_(C) z/ ((z+1-i)(z+1+i)) dz $
Svolgo i limiti:
$ lim_(z -> -1 -+i) z(z+1+-i)/ ((z+1-i)(z+1+i)) $
Che restituiscono $ (-1+i)/(2i) $ e $ (1+i)/(2i) $ . Essendo i limiti finiti, le singolarità sono poli del primo ordine e dunque le quantità trovate sono proprio i residui della funzione relativi ai poli.
Per il teorema dei residui, l'integrale sarà uguale a:
$ 2pii((1+i)/(2i) + (-1+i)/(2i))=2pii $
Spero di aver fatto tutto bene! Grazie per la disponibilità, aspetto riscontri