Equazioni differenziali

[Benedettax]

Salve, avrei un paio di domande sulle equazioni differenziali. Per quanto riguarda le non omogenee di secondo grado, il metodo di Lagrange (variazione delle costanti) si usa solo nei casi in cui non é possibile usare il metodo di somiglianza oppure i due metodi si possono utilizzare a scelta?
Ho poi un problema nel riconoscere a quale classe di equazioni differenziali appartiene la seguente:

y'(t)=x(t)-y(t)

...cosa c'entra la x e come la devo trattare?
E infine, la seguente equazione

y''(x)-6y'(x)+9y(x)=e^3xlnx+1

a quale dei tre casi del metodo di somiglianza appartiene? Grazie in anticipo per le eventuali risposte

[ciromario]

Per la prima equazione occorre solo ricordare che y ed x sono funzioni di t. Per la risoluzione puoi scrivere:
(1) $y'+y=x$
A questo punto o applichi direttamente la formula di risoluzioni delle ODE di primo ordine o procedi come segue.
L'equazione omogenea associata è :
$y'+y=0$
la cui soluzione è :
(2) $y=Ae^{-t}$ [dove A è funzione di t: A=A(t)]
Derivando rispetto a t si ha:
$y'=A'e^{-t}-Ae^{-t}$
Sostituendo y e y' nella (1) si ottiene:
$A'e^{-t}=x(t)$
Da qui :
$A=int_{t_o}^{t}x(t)e^tdt$, con $A(t_o)=0$
e sostituendo tale valore di A nella (2) :
$y=e^{-t}int_{t_o}^{t}x(t)e^tdt$
che è la formula risolutiva richiesta. Essa formula può essere esplicitata quando si conosce x(t).
Per esempio se è $x(t)=1$, risulta $y(t)=1+Ce^{-t}$ essendo $C=-e^{t_o}$

Per la seconda equazione premetto che ho interpretato "e^3xlnx+1" come $e^{3x}lnx+1$. Se non è così salta tutto !
Tanto premesso, per la seconda equazione c'è un metodo generale che però nel caso in questione mi sembra piuttosto lungo ed elaborato. Ripiego quindi su un altro procedimento che consiste nel trovare l'integrale generale della ODE omogenea associata e poi sommare ad esso una soluzione particolare $bar{y}$ da ricercare a parte.
L'integrale generale in questione è quello dell'equazione :
$y''-6y'+9=0$
e, come è ben noto dalla teoria, è :
$y=C_1e^{3x}+C_2xe^{3x}$
La soluzione particolare cerco di trovarla per somiglianza con $ lnx\cdot e^{3x}+1$, tentando con :
$\bar{y}=(Alnx+B)x^2e^{3x}+C$
dove $A,B,C$ sono costanti da determinare e la presenza della $x^2$ è giustificata dal fatto che, dovendo derivare due volte, deve essere preservato il $logx$.
Sostituendo nell'equazione data ( con calcoli che ti consiglierei di ripetere da solo) , alla fine si giunge a questo risultato :
$A=1/2,B=-3/4,C=1/9$
Si conclude che la risposta voluta è :
$y=C_1e^{3x}+C_2xe^{3x}+(1/2lnx-3/4)x^2e^{3x}+1/9$

[gugo82]

Aggiungo qualcosa sulla seconda, interpretando il termine noto come già fatto da chi mi ha preceduto.

Il primo membro della EDO è lineare, e ciò porta a cercare la soluzione particolare dell'equazione completa come somma di due funzioni, cioé \(\bar{y}(x) = y_1(x) + y_2(x)\) con \(y_1(x)\) che risolve:
\[
\tag{1}
y^{\prime \prime} (x) - 6 y^\prime (x) + 9 y(x) = e^{3x}\ \ln x
\]
ed \(y_2(x)\) che risolve:
\[
\tag{2}
y^{\prime \prime} (x) - 6 y^\prime (x) + 9 y(x) = 1\; .
\]
Chiaramente conviene scegliere \(y_2(x) := 1/9\), per semplicità; mentre non si ha un buon guess sulla scelta di \(y_1(x)\), poiché, come notava Benedettax, il termine noto di (1) non è in una delle forme comode usualmente previste dal "metodo di somiglianza".
D'altra parte, però, sappiamo che \(e^{3x}\) è una soluzione dell'equazione omogenea... E possiamo cercare di usare tale informazione in maniera creativa.
Procediamo allora in analogia a quanto si fa con le EDO del primo ordine col metodo del fattore integrante: in altre parole, proviamo a moltiplicare per \(e^{-3x}\) ambo i membri della (1) e cerchiamo di vedere se ciò ci porta su una buona strada. Facendo la moltiplicazione anzidetta si trova:
\[
e^{-3x}\ y^{\prime \prime}(x) - 6\ e^{-3x}\ y^\prime (x) + 9\ e^{-3x}\ y(x) = \ln x\; ,
\]
ed il primo membro di tale equazione si riscrive:
\[
\begin{split}
e^{-3x}\ y^{\prime \prime}(x) - 6\ e^{-3x}\ y^\prime (x) + 9\ e^{-3x}\ y(x) &= e^{-3x}\ y^{\prime \prime}(x) + 2\ (-3) e^{-3x}\ y^\prime (x) + (-3)^2 e^{-3x}\ y(x)\\
&= e^{-3x}\ y^{\prime \prime}(x) + 2\ \frac{\text{d}}{\text{d} x}\left[ e^{-3x}\right]\ y^\prime (x) + \frac{\text{d}^2}{\text{d} x^2}\left[ e^{-3x}\right]\ y(x)\\
&= \frac{\text{d}^2}{\text{d} x^2}\left[ e^{-3x}\ y(x)\right]
\end{split}
\]
quindi la nuova EDO si può mettere nella forma:
\[
\frac{\text{d}^2}{\text{d} x^2}\left[ e^{-3x}\ y(x)\right] = \ln x\; ,
\]
ossia:
\[
\tag{3}
Y^{\prime \prime} (x) =\ln x
\]
in cui è stata introdotta la variabile ausiliaria \(Y(x) := e^{3x}y(x)\). Da ciò segue che la funzione \(y_1(x)\) si può ottenere determinando prima la soluzione \(Y_1(x)\) della (3) e poi usando a ritroso la definizione della variabile ausiliaria, i.e. usando la formula \(y_1(x) = e^{3x} Y_1(x)\).
La \(Y_1(x)\) si determina con due integrazioni (definite, se hai un problema di Cauchy; indefinite, altrimenti) per parti successive; inoltre, nel caso di integrazione indefinita, dato che a te interessa una sola funzione, puoi bellamente scartare tutte le costanti di integrazione arbitrarie che vengono fuori (cioé puoi pensare tranquillamente che le costanti siano tutte nulle). Facendo il conto come detto, si ha:
\[
Y_1^\prime (x) = \int \ln x\ \text{d} x = x\ (\ln x - 1)
\]
da cui:
\[
Y_1(x) = \int \left( x\ (\ln x + 1) +C_1 \right)\ \text{d} x = \frac{x^2}{4}\ (2\ln x - 3)\; ;
\]
ergo:
\[
y_1(x) = \frac{x^2}{4}\ (2\ln x - 3)\ e^{3x}\; .
\]

Tornando alla EDO completa originaria, puoi ben dire che una soluzione particolare è:
\[
\bar{y}(x) = y_1(x)+y_2(x) = \frac{x^2}{4}\ (2\ln x - 3)\ e^{3x} + \frac{1}{9}
\]
come trovato da chi mi ha preceduto.

***

In generale, però, se vuoi determinare una soluzione dell'equazione completa devi applicare il metodo della variazione delle costanti (di Lagrange).
Prova a farlo con la tua EDO e posta i risultati.