Dubbio su potenziale di un campo vettoriale..

[21zuclo]

Ciao a tutti sto facendo degli esercizi sui campi vettoriali (o forme differenziali). Però ho un dubbio su una cosa. La spiego man mano nell'esercizio. Aiutatemi per favore. Grazie in anticipo

Dire se il seguente campo vettoriale \(\overrightarrow{F}\) è conservativo in $RR^3$
\( \overrightarrow{F}(x,y,z)=(x-z)\underline{i}+(1-xy)\underline{j}+z\underline{k} \)

allora per prima cosa ho provato a vedere se è irrotazionale (o se è una forma differenziale chiusa)

$ rot(F)=det( ( \ul(i) , \ul(j) , \ul(k) ),( \partial_x , \partial_y , \partial_z ),( x-z , 1-xy , z ) ) = $

$=\ul(i)| ( \partial_y , \partial_z ),( 1-xy , z ) |-\ul(j)| ( \partial_x , \partial_z ),( x-z , z ) |+\ul(k)| ( \partial_x , \partial_y ),( x-z , 1-xy ) |= ((0),(-1),(-y)) $ $\forall y\in RR$

siccome $ rot(F)\ne \ul(0) $ allora il campo NON è irrotazionale e NON è conservativo

Fino a qui mi sembra tutto ok.. Però io volevo provare a vedere cosa succede a determinarne un potenziale, lo so che per trovare un potenziale il campo deve essere conservativo, volevo vedere cosa succede.
Stranamente il potenziale lo trovo..
io faccio in questo modo..
$ \int (x-z)dx= x^2/2-xz+a(y,z) $
$ \partial_y( x^2/2-xz+a(y,z))=a_y(y,z) \to 1-xy=a_y (y,z)\ $

quindi $ \int (1-xy)dy=\int a_y(y,z)\to y-x y^2/2+b(z)=a(y,z) $

ora stessa cosa di prima $ \partial_z(y-x y^2/2+b(z))=b_z(z)\to z=b_z(z) $

e integro come prima ricavando $ z^2/2=b(z) $

quindi mettendo insieme i pezzi..ottengo
$ U(x,y,z)=x^2/2-xz+y-x y^2/2+z^2/2+K $

ECCO IL DUBBIO..ma se NON è conservativo, com'è possibile che ho trovato un potenziale?

e in più ho che

$ \partial_x (x^2/2-xz+y-x y^2/2+z^2/2+K)=x-y^2/2-z $

per cui anche da qui posso concludere che NON è conservativo? Perchè non conincide col primo termine della forma differenziale (o campo vettoriale)

[gugo82]

L'errore sta in questo passaggio:

io faccio in questo modo..
$ \int (x-z)dx= x^2/2-xz+a(y,z) $
$ \partial_y( x^2/2-xz+a(y,z))=a_y(y,z) \to 1-xy=a_y (y,z)\ $

quindi $ \int (1-xy)dy=\int a_y(y,z)\to y-x y^2/2+b(z)=a(y,z) $

Infatti, dato che stai supponendo che \(a\) sia una funzione delle sole variabili \(y\) e \(z\) (cioé \(a=a(y,z)\)), non si vede come possa la \(x\) comparire esplicitamente nell'assegnazione che individua \(a\).