Radici n-esime dell'unità

[asabasa]

Sono alle preme con la teoria dei campi, spero qualcuno possa aiutarmi!


Teorema:

Sia $n$ un numero intero positivo e sia $K$ un campo isomorfo a $QQ$ o a $ZZ_p$ con $p$ numero primo che non divide $n$.
Allora il gruppo $(G_n(K),*)$ delle radici n-esime dell'unità su $K$ è ciclico e ha ordine $n$.



Dim:

Sia $F$ un campo di spezzamento di $f=x^n-1$
Si ha $Df=nx^{n-1}$ quindi se un elemento $a$ di $F$ è radice di $Df$ risulta $na^{n-1}=0$
Ma la caratteristica di $F$ (campo) è nulla oppure è un numero primo che non divide $n$ segue allora che $a=0$
Quindi l'unica radice del polinomio di $Df$ è $0$, in particolare $Df$ e $f$ non hanno radici comuni.
Sapendo che una radice di $f$ è multipla se e solo se è anche radice di $Df$ segue che $f=x^n-1$ non ha radici multiple.

Poi dice: pertanto $(G_n(K),*)$ ha ordine $n$. Perché?

[Pappappero]

Tutte le radici $n$-esime di $1$ sono radici del polinomio $f$ e viceversa. Hai appena dimostrato che tutte le radici di $f$ sono distinte, e dunque sono $n$ elementi distinti di $F$. Dunque ottieni $n$ radici $n$-esime distinte.

[asabasa]

Tutte le radici $n$-esime di $1$ sono radici del polinomio $f$ e viceversa. Hai appena dimostrato che tutte le radici di $f$ sono distinte, e dunque sono $n$ elementi distinti di $F$. Dunque ottieni $n$ radici $n$-esime distinte.

Grazie!!!!
Ho capito

Buona Pasqua