Teorema (Criterio di Cauchy)

[Meetmat]

L'enunciato riportato sul mio libro di analisi è il seguente:

$ RR $ con la distanza euclidea $ d(x,y):=|x-y| $ è completo.

I miei dubbi sorgono sulla dimostrazione che riporto:
Dimostrazione:
Sia $ {x_n} $ una successione di Cauchy. Definiamo per $ n=1,2,3,... $
$ l_n:= "inf"_(k>=n){x_k} $ , $ L_n:= "sup"_(k>=n){x_k} $.
Ovviamente $ {l_n} $ è una successione crescente, $ {L_n} $ è una successione decrescente, $ l_n<=x_n<=L_n , AA n, $

$ l_n->"sup"_kl_k $ $ L_n->"inf"_kL_k $ per $ n-> oo $
e
$ "inf"_kL_k-"sup"_kl_k<=L_n-l_n:=delta _n , AAn. $

Essendo $ {x_n} $ una successione di Cauchy, $ delta_n->0 $ e quindi $ "sup"_kl_k="inf"_kL_k $. Se ora

$ bar x:="sup"_kl_k="inf"_kL_kinRR $ ,

per ogni $ epsi>0 $ si ha per n abbastanza grande che
$ barx-epsi<=l_n<=x_n<=L_n<=barx+epsi $
In altre parole $ x_n->barx $.


Le cose che mi riescono difficili da capire sono:

1) $ l_n->"sup"_kl_k $ Dove varia k? k deve essere maggiore di zero o k deve essere maggiore di n? Ha importanza saperlo?

2) $ delta_n->0 $ e quindi $ "sup"_kl_k="inf"_kL_k $. Posso dire questa cosa per il teorema del confronto essendo la quantità che considero sicuramente $ >=0 $ oppure sto sbagliando?

Spero di essere stato chiaro . Grazie in anticipo.

[gugo82]

Forse è meglio scrivere quel \(\sup l_n\) e \(\inf L_n\) con una notazione apposita...

Invero, sai che le successioni \((l_n)\) ed \((L_n)\) sono monotone, l'una crescente e l'altra decrescente, sicché il teorema di regolarità delle successioni monotone importa:
\[
\begin{split}
\lim_n l_n &=\sup_{n\in \mathbb{N}} l_n =:\lambda\\
\lim_n L_n &=\inf_{n\in \mathbb{N}} L_n =:\Lambda\; ,
\end{split}
\]
e l'obiettivo della dimostrazione è mostrare che valgono i seguenti fatti:

1. \(\lambda <+\infty\quad \text{e}\quad \Lambda >-\infty\),
   
   
2. \(\lambda =\Lambda\),
   
   
3. \(\lim_n x_n=\lambda\) (\(=\Lambda\)).

Abbiamo:

1. Il primo fatto è facile: infatti, dato che \(l_n\leq L_n\) per ogni indice \(n\) e data la monotonia delle due successioni \((l_n)\) ed \((L_n)\), hai:
   \[
   l_1\leq l_n\leq L_n\leq L_1\qquad \Rightarrow\qquad \begin{cases} \lambda =\sup_{n\in \mathbb{N}} l_n \leq L_1<+\infty\\
   \Lambda =\inf_{n\in \mathbb{N}} L_n \leq l_1>-\infty \end{cases}
   \]
   come volevi. In particolare, hai \(\Lambda \geq \lambda\) per ovvie ragioni.
   
   
2. Il secondo fatto discende dalla proprietà di Cauchy: invero, hai:
   \[
   0\leq \Lambda - \lambda = \underbrace{\Lambda - L_n}_{\color{maroon}{\leq 0}} + L_n-l_n + \underbrace{l_n-\lambda}_{\color{maroon}{\leq 0}} \leq L_n-l_n\; ,
   \]
   per definizione di \(\Lambda\) e \(\lambda\); d'altra parte, per \(\varepsilon >0\), per \(h,k\geq n \geq \nu\) (il \(\nu\) è quello fornito dalla proprietà di Cauchy in corrispondenza di \(\varepsilon\)) si ha:
   \[
   \begin{split}
   x_h-x_k\leq |x_h-x_k|\leq \varepsilon\quad &\Rightarrow \quad x_h-l_n = x_h -\inf_{k\geq n} x_k \leq \varepsilon \\
   &\Rightarrow L_n-l_n = \sup_{h\geq n} x_h - l_n \leq \varepsilon
   \end{split}
   \]
   per ogni \(n\geq \nu\); quindi per ogni \(\varepsilon>0\) si può trovare \(\bar{n}=\nu\) tale che:
   \[
   0\leq \Lambda - \lambda \leq L_{\bar{n}} - l_{\bar{n}}\leq \varepsilon\; ;
   \]
   e perciò \(\Lambda =\lambda\). Chiamiamo \(\bar{x}\) il valore comune di \(\lambda\) e \(\Lambda\).
   
   
3. Il terzo punto pure è facile: fissato l'indice \(n\), hai:
   \[
   l_n-\bar{x} =\inf_{k\geq n} x_k - \bar{x} \leq x_n - \bar{x} \leq \sup_{k\geq n} x_k -\bar{x} = L_n-\bar{x}
   \]
   ed il fatto che \(\lim_n x_n=\bar{x}\) segue dal teorema dei carabinieri.

[Meetmat]

Davvero una bella risposta!! Grazie e complimenti per la chiarezza nell'esposizione.