Continuo a non capire...
La definizione è la seguente:
\[
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta>0:\ \forall x\in E\cap B_X (x_0;\delta),\quad f(x)\in B_Y \left( f(x_0);\varepsilon\right)\; ,
\]
in cui:
\[
\begin{split}
B_X (x_0;\delta) &:= \left\{x\in X:\ d_X(x,x_0)<\delta \right\}\\
B_Y \left( f(x_0);\varepsilon \right) &:= \left\{y\in Y:\ d_Y( y,f(x_0))<\varepsilon \right\}\; ,
\end{split}
\]
e non mi pare che se \(E\cap B(x_0;\delta)=\{x_0\}\) ci siano problemi.
Ma, anche non volendo usare una formulazione insiemistica, cioé usando le disuguaglianze:
\[
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta>0:\ \forall x\in E,\quad d_X(x,x_0)<\delta \ \Rightarrow \ d_Y \left( f(x), f(x_0)\right) < \varepsilon\; ,
\]
non vedo che problema ci sia quando l'unico punto \(x\) di \(E\) a soddisfare una stima del tipo \(d_X(x,x_0)<\delta\) sia il solo \(x_0\)...
Quello che viene a cadere nei punti isolati non è la definizione di continuità, bensì la
possibilità di pensare alla continuità in termini di limite.
In altre parole, se \(x_0\) è un punto isolato di \(E\) non è vero che la continuità di \(f\) in \(x_0\) può essere caratterizzata dall'uguaglianza:
\[
\lim_{x\to x_0} f(x) = f(x_0)\; ,
\]
come invece accade nei punti di accumulazione. Infatti, per parlare di limite, c'è bisogno che per tutti i \(\delta>0\) "piccoli" l'insieme \(E\cap B(x_0;\delta)\) non sia costituito dal solo punto \(x_0\), e ciò non si verifica nei punti isolati.
Quindi è la definizione di limite a non funzionare nei punti isolati, non quella di continuità.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)