Diametro di un insieme (spazi metrici)

[Lucia]

Ciao a tutti

L' esercizio che non riesco a svolgere è il seguente:
$X=(0,5)$
$d=|x-y|$
devo calcolare $diam(I(x_0,r))$ per $x_0\inX$ e $r>0$

Io ho applicato la definizione:
$I(x_0,r)={x\inX : |x-x_0|<r}$
$diamI= s u p{|x-y|: x,y\in I}$
quindi $|x-y|<=|x-x_o|+|y-x_0|<2r$

quindi $diamI=2r$ essendo l'estremo superiore
Non riesco a capire perchè il libro riporta un altro risultato

[gugo82]

Esempio: cosa succede se \(x_0=1\) ed \(r=5\)?

[CaMpIoN]

Se non ricordo male il diametro di un'insieme è la differenza tra l'estremo superiore e l'estremo inferiore, nel tuo caso avresti:
\(\displaystyle \sup I(x_0,r)-\inf I(x_0,r)=x_0+r-(x_0-r)=x_0+r-x_0+r=2r\)

[gugo82]

Stesso errore dell'OP...

Per capire che le cose non funzionano basta formulare un controesempio, il quale può essere ottenuto rispondendo alla domanda che ho posto sopra, cioé:

cosa succede se \(x_0=1\) ed \(r=5\)?

[Lucia]

ok, adesso rifletto sul suggerimento che mi hai dato e provo a rifare l'esercizio

Poi ho un esercizio che richiede di verificare che (X,d) sia uno spazio metrico, dove:
X={insieme di tutte le successsioni limitate ${x_n}$, con $x_n\inR$}
e $d= s u p {|x_1 -y_1|,....,|x_n-y_n|,....}$

1) che $d>=0$ è banale:
$d=0 <=>{x_n}={y_n}$: infatti sia ${a_n}=|{x_n}-{y_n}|$, $a_n>=0$,allora il $s u p {a_n}=0 <=> a_n=0$ per ogni n
2) $d(x,y)=d(y,x)$ discende dalla simmetria del modulo
3) disuguaglianza triangolare:
$d(x,y)<=d(x,z)+d(y,z)$
Per ogni n: $|x_n-y_n|=|(x_n-z_n)+(z_n-y_n)|<=|(x_n-z_n)|+|(z_n-y_n)|$
da cui $s u p |x_n-y_n|<= s u p |(x_n-z_n)|+ s u p |(z_n-y_n)|$
Come faccio però a dimostrare che vale per $d= s u p {|x_1 -y_1|,....,|x_n-y_n|,....}$?
ad esempio potrei sfruttare il fatto che sono limitate?
so che $|x_n|<=M <=> i n f (x__n)<=x_n<= S u p (x_n)$

[gugo82]

ok, adesso rifletto sul suggerimento che mi hai dato e provo a rifare l'esercizio

OK, ragionaci un po' e poi aggiornaci!

Poi ho un esercizio che richiede di verificare che (X,d) sia uno spazio metrico, dove:
X={insieme di tutte le successsioni limitate ${x_n}$, con $x_n\inR$}
e $d= s u p {|x_1 -y_1|,....,|x_n-y_n|,....}$

1) che $d>=0$ è banale:
$d=0 <=>{x_n}={y_n}$: infatti sia ${a_n}=|{x_n}-{y_n}|$, $a_n>=0$,allora il $s u p {a_n}=0 <=> a_n=0$ per ogni n
2) $d(x,y)=d(y,x)$ discende dalla simmetria del modulo
3) disuguaglianza triangolare:
$d(x,y)<=d(x,z)+d(y,z)$
Per ogni n: $|x_n-y_n|=|(x_n-z_n)+(z_n-y_n)|<=|(x_n-z_n)|+|(z_n-y_n)|$
da cui $s u p |x_n-y_n|<= s u p |(x_n-z_n)|+ s u p |(z_n-y_n)|$

E fin qui OK... Ma questa frase:

Come faccio però a dimostrare che vale per $d= s u p {|x_1 -y_1|,....,|x_n-y_n|,....}$?

che vuol dire?

Tra l'altro, l'esercizio era bello e finito prima di quella frase: perché?