Ragazzi sto studiando la teoria dei codici e ho delle perplessità.
Viene assegnato un codice binario di lunghezza 7.
Lo spazio delle parole contiene (ovviamente) 128 elementi e le 16 parole del codice sono le seguenti:
\(\displaystyle
v_1 = 0000000
v_2 = 1110000
v_3 = 1001100
v_4 = 1000011
v_5 = 0101010
v_6 = 0100101
v_7 = 0011001
v_8 = 0010110
v_9 = 1111111
v_10 = 0001111
v_11 = 0110011
v_12 = 0111100
v_13 = 1010101
v_14 = 1011010
v_15 = 1100110
v_16 = 1101001
\)
La matrice generatrice di tale codice è costituita dai vettori:
\(\displaystyle
v_2 = 1110000
v_3 = 1001100
v_4 = 1000011
v_5 = 0101010
\)
Ora se non ho capito male la definizione, la matrice generatrice di un codice C deve avere per righe i vettori della base dello spazio vettoriale costituito dai vettori appartenenti a C.
Ho iniziato a verificare, mediante gli scarti successivi, la lineare indipendenza dei vettori di C.
\(\displaystyle v_1 \), in quanto nullo, si scarta quindi si parte da \(\displaystyle v_2 \) confrontandolo con \(\displaystyle v_3 \) e così via. Non ho avuto problemi a provare la lineare indipendenza tra tutti i vettori della matrice generatrice. Il problema è sorto quando ho notato che anche \(\displaystyle v_2, v_3, v_4, v_5, v_6 \) sono linearmente indipendenti.
Mi aspettavo che \(\displaystyle v_2, v_3, v_4, v_5, v_6 \) fossero linearmente dipendenti in modo da escludere \(\displaystyle v_6 \) dai vettori della base e di provare. Come mai la matrice generatrice riporta solo i vettori \(\displaystyle v_2, v_3, v_4, v_5\) ?