Ciao ho questa serie di funzioni:
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{log(\frac{x}{n})}{x^2+n^2}} \),
con \(\displaystyle x>0 \),
\(\displaystyle \frac{log(\frac{x}{n})}{x^2+n^2} \leq \frac{log(\frac{x}{n})}{n^2} \leq \frac{\frac{x}{n}}{n^2} = \frac{x}{n^3} \),
dal criterio del confronto \(\displaystyle {x}\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^3}} \) converge \(\displaystyle \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{log(\frac{x}{n})}{x^2+n^2}} \) converge su \(\displaystyle (0, +\infty) \);
per la convergenza totale cerco di studiare la derivata prima ma non è risolvibile analiticamente a prima vista:
\(\displaystyle f'_{k}(x) = \frac{x^2+n^2 -2x^2log(\frac{x}{n})}{x(x^2+n^2)^2} \), ma sono bloccato qui e non so se converge totalmente oppure no.