relazione tra coefficenti di fourier e segnale iniziale

[sdrabb]

ciao a tutti!

ho il seguente esercizio:

sia $ x(t)={ ( 1per -2<=t<=-1 ),( t^2per -1<=t<=1 ),( 1per1<=t<=2 ),( 0ALTRIMENTI ):} $

(a)ricavare i coefficenti $c_n$ della serie di Fourier del segnale periodico di periodo $T=4$, definito da
$ y(t)=sum_(k=-oo)^oox(t-4kT) $

b) discutere l'andamento asintotico dei coefficenti $c_n$ quanto $n->oo$


svolgendo l'esercizio ottengo che

$ c_k=sinc(k)+(cos((kpi)/2))/((pi^2k^2)/4)-(sinc(k/2))/((pi^2k^2)/4) $



il punto B sono dovuto andare a vedere le soluzioni e dicono che i coefficenti $c_k$ hanno un andamento asintotico $ c_k~~ 1/k^2 $ ciò è congruente cn il fatto che la funzione periodicizzata con periodo $T=4$ diventa continua...


qualcuno mi potrebbe dire il perchè ? e mi sapreste indicare che relazioni ci sono tra i coefficenti della serie e il segnale periodicizzato? potreste indicarmi qualche dispensa o materiale per fare chiarezza su ciò? grazie mille!!!

[Quinzio]

Una risposta formale e corretta non ce l'ho, comunque penso che l'esercizio vuole che tu sappia un certo comportamento della trasformata che è il seguente: più la funzione è regolare, più la trasformata ha supporto limitato.
Cioè vuol dire che più la funzione è derivabile più la sua trasformata occupa una "banda" ristretta, cioè il suo supporto è piccolo.
Esempi:
- funzioni seno e coseno: sono funzioni $C^(oo)$, derivabili infinite volte, quindi molto regolari e infatti la loro trasformata è un delta di Dirac, cioè una funzione (bisognerebbe parlare di distribuzioni) che ha come supporto un solo punto della retta reale.
- la funzione "sinc" è derivabile tranne che nell'origine, e infatti la sua trasformata è la funzione porta, cioè una funzione limitata, che però occupa un intero intervallo.