da ChiaraSchive » 27/04/2014, 17:16
La fonte su cui studio sono gli appunti presi in aula durante le ore di lezione.
Lo scopo di tutti i passaggi è risolvere l'equazione di Laplace
$\nabla^(2) U=0$
Sia $U(r,\theta,\phi)$ e risolvo il laplaciano in coordinate sferiche:
$\nabla^(2) U=(1/r)*(del^(2)(r*U))/(delr^(2))+(1/(r^(2)*sen\theta))*(del(sen\theta*del(U)/(del\theta))/(del\theta))+(1/(r^(2)*sen^(2)\theta))*(del^(2)U/(del\phi^(2)))=0$
Poi fa l'ipotesi che la soluzione si possa scrivere come prodotto di tre fattori, i quali dipendono da una sola variabile ciascuno:
$U(r,\theta,\phi)= ((R(r))/(r))*P(\theta)*Q(\phi)$ e la sostituisco nell'equazione sopra.
Poi moltiplico per $(r^(3)*sen^(2)\theta)/(P*Q*R)$ e ottengo:
$r^(2)*sen^(2)\theta*(1/R)*(d^(2)R/(dr^(2)))+sen\theta*(1/P)*(d(sen\theta*(dP/(d\theta)))/(d\theta))+(1/Q)*(d^(2)Q/(d\phi^(2)))=0$ (1)
osservo che i primi due termini se derivati rispetto a $\phi$ sono nulli, e rimane solo la derivata dell'ultimo che è uguale a zero. Quindi il suo argomento deve essere costante:
$(1/Q)*(d^(2)Q/(d\phi^(2)))=-m^(2)$ dove m è un numero intero.
Si giunge così alla determinazione del fattore $Q(\phi)=cosm\phi$ e $Q(\phi)=senm\phi$.
Divido la (1) per $sen^(2)\theta$ così da far sparire la dipendenza da $\theta$ del primo termine e la dipendenza da r del secondo. Derivo rispetto a r. L'unico termine che dipende da r è il primo e la sua derivata è nulla (dato che gli altri termini non dipendono da r), quindi devo risolvere:
$(r^(2))*(d^(2)R/(dr^(2)))=kR$ con k costante.
Dico che R è descritto da una potenza, cioè lo scrivo come $R(r)=r^(n)$, che sostituito nell'equazione precedente ottengo
$n_1=l+1$ e $n_2=-l$ dato che $n_1+n_2=1$, con l reale.
Ottengo $R(r)=r^(l+1)$ e $R(r)=r^(-l)$
Moltiplico per P e ottengo:
$(1/(sen\theta))*d(sen\theta*dP/(d\theta))/(d\theta)+[l(l+1)-(m^(2)/(sen^(2)\theta))]*P=0$
le soluzioni di questa sono le equazioni associate di Legendre che dipendono da due costanti: l e m, $P_l^m$ dove l è il grado del polinomio, e m non ho capito cos'è. Da qui inizia il dramma. Riporto i passaggi del prof, premettendo che non ho capito niente da qui in avanti:
Cerco le soluzioni con m=0, quindi non ho la dipendenza da $\phi$.
L'equazione da risolvere è
$(1/(sen\theta))*d(sen\theta*dP/(d\theta))/(d\theta)+l(l+1)P=0$.
Fa il cambio di variabile $x=cos\theta$ e suppone che
$P(x)=\sum_{k=0}^\infty(c_k*x^(k))$ e la sostituisce in (non ho capito come viene fuori):
$d((1-x^(2))*dP/(dx))/(dx)+l*(l+1)P=0$
Poi cita una relazione di ricorrenza che lega i coefficienti pari:
$c_(k+2)\rightarrowc_k$
Se inizio la serie con $c_0=1$ e $c_1=0$ ottengo solo potenze pari.
Se inizio la serie con $c_0=0$ e $c_1=1$ ottengo solo potenze dispari.
In generale si ha che le serie divergono in $x=+-1$ (polo nord e polo sud)
Questo non è possibile perchè il potenziale ai poli deve essere definito. Quindi impone che le serie non divergano e questo si verifica solo se l è intero. Nel primo caso l è un intero pari, nel secondo l è un intero dispari.
Alla fine dice che le soluzioni con m=o sono polinomi di grado l: $P_l^(0)$
$\int_(-1)^1P_l(x)*P_(l')(x)dx=0$ con l diverso da l'
Se $m!=0$ e derivo si passa dall'equazione di Legendre a quella associata
$P_l^(m)(x)$ con l=0,1..... e 0<m<l
Arriva alla soluzione generale del laplaciano di U:
$U_l^(m)(r,\theta,\phi)=[c_(lm)cosm\phi+s_(lm)senm\phi]*(1/(r^(l+1)))*P_l^(m)(cos\theta)+[\barc_(lm)cosm\phi+\bars_(lm)senm\phi]r^(l)*P_l^(m)(cos\theta)$
Poi fa una tabella dove trova i valori di $P_l^(m)$
$P_0^(0)=1$
$P_1^(0)=x$
$P_2^(0)=1/2*(3x^(2)-1)$
$P_1^(1)=-sqrt(1-x^(2))$
$P_2^(1)=-3xsqrt(1-x^(2))$
$P_2^(2)=3(1-x^(2))$
Grazie di cuore a chi voglia rispondere