sto studiando i Teoremi di Cauchy-Lipschitz di esistenza ed unicità (per e.d.o. del primo ordine in forma normale). La versione "globale" vista a lezione è la seguente.
Sia $I\subseteq RR$, $(x_0,y_0)\in I\times RR^n$ e $f:I\times RR^n\to RR^n$. Si supponga che
1. $f$ sia continua;
2. per ogni intervallo compatto $J\subseteq I$, esiste $K\ge 0$ tale che
\[\forall x\in J,\ \forall y,z\in \mathbb{R}^n,\qquad \|f(x,y)-f(x,z)\|\le K\|y-z\|\tag{L}\]
(si dice che $f$ è localmente uniformemente lipschitziana rispetto alla seconda variabile). Allora il problema di Cauchy
\[
\begin{cases}
y'=f(x,y)\\
y(x_0)=y_0
\end{cases}\qquad (x\in I)
\]
ammette un'unica soluzione.
Girovagando per il web ho notato che le ipotesi non sono "standard", ma variano a seconda dei gusti e dell'esigenze dell'autore. In particolare, ho visto utilizzare diverse "varianti" dell'ipotesi 2, quasi sempre espresse dicendo che $f$ è localmente lipschitziana in $y$, uniformemente rispetto a $x$.
Questione: leggendo la $("L")$, attribuirei senza pensarci troppo entrambi gli avverbi localmente ed uniformemente alla variabile $x$, anziché associare il primo alla $y$ ed il secondo alla $x$, come mi pare di capire che si faccia. Sbaglio?
Nella versione "locale", si suppone $f$ continua in un aperto $U\subseteq RR\times RR^n$ ed ivi localmente uniformemente lipschitziana (rispetto alla seconda variabile), questa volta intendendo che $\forall (x_0,y_0)\in U$, esistono $r,\rho>0$, $K\ge 0$ tali che1 $[x_0-r,x_0+r]\times \bar{B}(y_0;\rho)\subseteq U$ e
\[\forall x\in [x_0-r,x_0+r],\ \forall y,z\in \bar{B}(y_0;\rho),\qquad \|f(x,y)-f(x,z)\|\le K\|y-z\|\]
Qui la situazione mi sembra diversa: pare che il localmente sia riferito ad entrambe le variabili, e che l'uniformità stia ancora solamente nella $x$.
Ho visto bene o dico fesserie? In ogni caso, mi chiedo perché mai utilizzare lo stesso nome per due proprietà non poco diverse
Grazie anticipate
- Con $\bar{B}(y_0;\rho)$ denoto la palla chiusa di centro $y_0$ e raggio $\rho$. ↑
