Dimostrazione limite un po' oscura

[siddy98]

Salve a tutti , nel capito dedicato all'analisi di Che cos'è la matematica, gli autori dimostrano che la successione $ n^(s)/a^(n) $ tende a $ 0 $ per ogni $ s>0, a>1 $. Poi estendono questo limite dalla successione alla funzione, cioè dimostrano che $ x^(s)/a^(x) $ tende a 0 al divergere di $ x $, dicendo semplicemente che essendo $ x^(s)/a^(x)<n^(s)/a^(n-1) $ per $ n-1<=x<=n$, e tendendo la quantità a destra della diseguaglianza a $ 0 $, allora anche quella a sinistra tende a $ 0 $. Ecco, io non ho capito bene innanzitutto perché la diseguaglianza vale per $ n-1<=x<=n $, poi non capisco bene l'implicazione logica...io ho provato a dimostrare il tutto così: posto $ \epsilon=b $, poiché la successione (che abbrevio $ S $) tende a zero, esiste un $ N $ tale che $ S_(n_0)<b$ per ogni $n_0>N$. Se la funzione (che abbrevio $ f $) tende a zero al divergere di $ x $, allora esiste a sua volta un $ M>0 $ tale che $ f<ab $ (per il lemma dell'arbitrarietà di $ \epsilon $) per ogni $ x>= M $. Poiché $ f(x)<a*S_(n_0) $ per $ n_0-1<=x<=n_0 $, $ f(x)<ab $. Scegliendo un $n_1>n_0>=N $ , vale sempre $ S_(n_1)<b $ e quindi anche $ f(x_1)<a*S_(n_1)<ab $ se $ n_1-1<=x_1<=n_1 $, cioè per $ n_0<=n_1-1<=x $. Posto dunque $ M=n_0 $, $ f(x)<ab $ se $ x>M=n_0 $. E' corretto quello che ho scritto? Inoltre, questo non toglie la restrizione di $ x<=n_0 $ ? Grazie mille come sempre!

[Quinzio]

Salve a tutti , nel capito dedicato all'analisi di Che cos'è la matematica, gli autori dimostrano che la successione $ n^(s)/a^(n) $ tende a $ 0 $ per ogni $ s>0, a>1 $. Poi estendono questo limite dalla successione alla funzione, cioè dimostrano che $ x^(s)/a^(x) $ tende a 0 al divergere di $ x $, dicendo semplicemente che essendo $ x^(s)/a^(x)<n^(s)/a^(n-1) $ per $ n-1<=x<=n$, e tendendo la quantità a destra della diseguaglianza a $ 0 $, allora anche quella a sinistra tende a $ 0 $. Ecco, io non ho capito bene innanzitutto perché la diseguaglianza vale per $ n-1<=x<=n $, poi non capisco bene l'implicazione logica..

$ x^(s)/a^(x)<n^(s)/a^(n-1) $ per $ n-1<=x<=n$

In pratica stanno facendo una minorazione del numeratore, e una maggiorazione del denominatore. Alla fine il numero a sinistra è minore di quello a destra.
Il numeratore di sinistra è minore/uguale di quello di destra per $x<=n$, il denominatore di sinistra è maggiore di quello di destra per $n-1<=x$. Prendendo l'intersezione dei due intervalli si ottiene $n-1<=x<=n$.
L'implicazione logica, se ho capito il tuo dubbio, è che abbiamo $a<b$, con $a,b $ positivi. Se $b->0$, anche $a->0$. Mi sembra molto intuitivo.

[siddy98]

$ x^(s)/a^(x)<n^(s)/a^(n-1) $ per $ n-1<=x<=n$

In pratica stanno facendo una minorazione del numeratore, e una maggiorazione del denominatore. Alla fine il numero a sinistra è minore di quello a destra.
Il numeratore di sinistra è minore/uguale di quello di destra per $x<=n$, il denominatore di sinistra è maggiore di quello di destra per $n-1<=x$. Prendendo l'intersezione dei due intervalli si ottiene $n-1<=x<=n$.
L'implicazione logica, se ho capito il tuo dubbio, è che abbiamo $a<b$, con $a,b $ positivi. Se $b->0$, anche $a->0$. Mi sembra molto intuitivo.

Sì, è intuitivo, però volevo una dimostrazione rigorosa. Avrei detto "per il teorema dei carabinieri" (si può applicare in caso le due funzioni siano definiti su due domini diversi, in questo caso R e N?), ma quella limitazione mi ha lasciato un po' perplesso. Comunque, hai dato un'occhiata alla mia di dimostrazione? Che ne dici?

[dissonance]

Se vuoi applicare il teorema dei carabinieri, definisci una funzione ausiliaria
\[
\begin{split}
\phi(x) &:= \frac{\lceil x\rceil^s}{a^{\lfloor x\rfloor}}\\
& = \begin{cases} 1^s/a^0 &\text{, se } 0\le x <1\\
2^s/a^1 &\text{, se } 1\le x <2\\
3^s/a^2 &\text{, se } 2\le x <3\\
4^s/a^3 &\text{, se } 3\le x <4\\
\vdots &\text{, } \vdots\\
n^s/a^{n-1} &\text{, se } n-1\le x < n\\
\vdots &\text{, } \vdots \end{cases}
\end{split}
\]
(il cui grafico è "a scalino"), e osserva che \(0\le f(x)\le \phi(x)\).

[siddy98]

Se vuoi applicare il teorema dei carabinieri, definisci una funzione ausiliaria
\[
\begin{split}
\phi(x) &:= \frac{\lceil x\rceil^s}{a^{\lfloor x\rfloor}}\\
& = \begin{cases} 1^s/a^0 &\text{, se } 0\le x <1\\
2^s/a^1 &\text{, se } 1\le x <2\\
3^s/a^2 &\text{, se } 2\le x <3\\
4^s/a^3 &\text{, se } 3\le x <4\\
\vdots &\text{, } \vdots\\
n^s/a^{n-1} &\text{, se } n-1\le x < n\\
\vdots &\text{, } \vdots \end{cases}
\end{split}
\]
(il cui grafico è "a scalino"), e osserva che \(0\le f(x)\le \phi(x)\).

Credo di aver capito...grazie molte! è salvabile comunque il ragionamento che ho fatto io? Mi ci sto dannando xD

[Quinzio]

Non capisco... se vuoi dimostrare che
$lim_(n->oo)(n^s)/(a^n)=0$

credo sia meglio calcolare il rapporto tra due termini consecutivi
$((n+1)^s)/(n^s)=1+s/n+((s),(2))1/n^2+...< 1+s! s/n$

e

$(a^n)/(a^(n+1))=1/a$

Quindi, per il teorema del rapporto, non importa quanto grande $s$ possa essere, $\EE n_0 : \AA n>=n_0,\ \ a>1,\ \ (1+s! s/n )1/a <1$, quindi la successione tende a 0.

La tua dimostrazione, scusami, ma non la seguo. Dovresti metterla giù in forma un po' più schematica, secondo me...

[siddy98]

La tua dimostrazione, scusami, ma non la seguo. Dovresti metterla giù in forma un po' più schematica, secondo me...

Sì, ho ancora qualche difficoltà a esprimermi in matematica purtroppo, sto cercando di migliorare da questo punto di vista. Comunque il mio intento era dimostrare che la funzione $ \lim_{x \to \infty} (x^s)/(a^x)=0 $ utilizzando la definizione classica di limite, cioè trovando un $ L $ per cui $ f(x)<\epsilon$ $ \forall x>=M $, e per farlo utilizzo innanzitutto il fatto che anche la successione $ S_n=n^s/a^n $ tende a $ 0 $, e poi che quest'ultima quantità, moltiplicata per $ a $, è maggiore di $ f(x) $ per $ n-1<x<n $. In pratica ho fatto così:
Poniamo $ \epsilon=\epsilon_0 $; poiché $ a_n $ tende a $ 0 $, esiste un numero $ M $ tale che $ a_n<\epsilon_0 \forall n>=M $
Scelto un $ n_0>M $, $ f(x_0)<a*(n_0)^(s)/a^(n_0)<a*\epsilon_0 $ se $ n_0-1<=x_0<=n_0 $ .
Ora consideriamo gli $ x>n_0 $, questi ultimi saranno a loro volta compresi tra due naturali $n_1-1 $ e $n_1$, cioè $n_1-1<=x<=n_1 $. Essendo ovviamente $ n_1>n_0 $, continua a valere $ a*S_(n_1)<a\epsilon_0 $, ma allo stesso tempo $ f(x)<a*S_(n_1) $ e pertanto $ f(x)<a\epsilon_0 $ se $ x>L=n_0 $, proprio secondo la definizione di limite. Mi rendo conto che magari l'ho scritta esattamente allo stesso modo (e mi sarà scappato qualche $ >= $ ma davvero per ora non riesco a fare di meglio .