Intanto proverei anche un'altra via, ma forse è vicina all'ultima considerazione di robbstark quindi la metto in spoiler
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...Si guardano proprio i singoli punti anzichè le regioni...
La tesi quindi può essere rivista in questo modo...
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Prendo una sfera, sia $O$ il suo centro e $A$ un punto sulla sua superficie. Adesso su ogni altra sfera prendo il punto corrispondente ad $A$. Ovvero il punto che trovo mandando vettori paralleli ad $OA$ passanti per il centro di ogni sfera e che intersecano ogni sfera nel verso $OA$. (In pratica quelli aventi la stessa latitudine e longitudine...)
Si tratta di dimostrare che per ogni punto $A$ esiste una ed una sola sfera dove tal punto è privato (tranne casi eccezionali).
Questo dovrebbe essere equivalente alla tesi perchè se ogni punto è privato su una e una sola sfera vuol dire che componendo insieme tutti i punti privati ogni punto viene contato una sola volta e messi insieme danno proprio la superficie di una sfera.
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Non so se ho spiegato bene cosa volevo dimostrare..
Quindi prendo un punto $A$ e prendo un piano perpendicolare ad $OA$ inizialmente molto lontano dalle sfere. Lo avvicino pian pianino alle sfere sempre facendolo scorrere lungo il vettore $OA$. Prima o poi tale piano toccherà una sfera in un punto corrispondente al punto $A$. Tale punto è sicuramente privato, proprio perchè dall'altra parte del piano non poteva essere visto da nessuna sfera. Ora se faccio scorrere ancora il piano, in ogni altra sfera toccherò il punto corrispondente ad $A$ che stavolta non sarà più privato perchè ha delle sfere davanti a lui.
Le eccezioni si hanno quando avvicinando il piano, al primo impatto tocco diversi punti... Ma si nota "visivamente
" che i punti toccati in quel modo sono proprio i punti che fanno da perimetro di confine tra una zona privata e una zona non privata quindi sono al più archi di circonferenza che non influiscono sulla superficie totale.
Quindi facendo variare $A$ e montando insieme tutti i punti privati trovati in questo modo riesco a coprire una sola volta una sfera intera tranne qualche arco di circonferenza.