topologia discreta

[fede_mat11]

Salve a tutti! Sto cercando di risolvere un problema di topologia generale, ve lo propongo sperando che mi possiate essere d'aiuto:
Sia X uno spazio topologico e sia Y un suo sottoinsieme, supponiamo che la topologia di sottospazio su Y coincida con la topologia discreta. Dimostrare o dare un controesempio che:
1) la topologia di sottospazio sulla CHIUSURA di Y è la topologia discreta
2) se X è metrizzabile allora Y è un chiuso di X

io ho ragionato così: riguardo alla domanda 2 mi pare che l'affermazione sia vera: se ho un insieme discreto devo pensare ad Y come un insieme di punti isolati e se X è metrico questo spazio discreto sarà sicuramente chiuso proprio perchè costutuito da punti isolati (allo stesso modo in cui si dimostra che i naturali sono un insieme discreto e chiuso di R)
ma se X non è metrico? può esistere un insieme discreto che non sia chiuso?
perchè se rispondo a questo probabilmente trovo anche una soluzione per il punto 1) (che intuitivamente mi sembra falso) ma proprio non mi viene in mente l'esempio di un spazio non metrico che ha un discreto non chiuso e tale che la sua chiusura non è più un discreto

[dissonance]

Prova a ragionare un po' su questo sottoinsieme di \(\mathbb{R}\): \[
Y=\left\{\frac{1}{n}\ :\ n=1, 2, 3\ldots\right\}
\]

[apatriarca]

La topologia indotta di un singolo punto è, in qualsiasi topologia, quella discreta. Considera quindi per esempio un insieme \(X\) formato da due punti A e B e definiamo la topologia \( \{ \emptyset, \{A\}, \{A, B\} \}. \) Il sottoinsieme \(\{A\}\) ha la topologia discreta, ma la sua chiusura (tutto \(X\)) non ha la topologia discreta.

[j18eos]

Considerato l'insieme \(\displaystyle\mathbb{Z}\cup\{\infty\}\) si consideri la topologia:

1. \(\displaystyle\emptyset\) e \(\displaystyle\mathbb{Z}\cup\{\infty\}\) sono insiemi aperti;
2. tutti i sottoinsiemi di \(\displaystyle\mathbb{Z}\) sono aperti;
3. per ogni \(\displaystyle F\subset\mathbb{Z}\) insieme finito (non vuoto), \(\displaystyle(\mathbb{Z}\setminus F)\cup\{\infty\}\) è un insieme aperto;

allora:

1. su \(\displaystyle\mathbb{Z}\) è definita la topologia discreta;
2. la chiusura di \(\displaystyle\mathbb{Z}\) è \(\displaystyle\mathbb{Z}\cup\{\infty\}\).

Questo spazio si chiama compattificazione con un punto o di Alexandrov di \(\displaystyle\mathbb{Z}\) con la topologia discreta!

[fede_mat11]

ok grazie mille a tutti!! mi ero messa a studiare casi troppo complicati quando la soluzione era facile da trovare. Solo che ora mi sorge un dubbio riguardo a questo:

Prova a ragionare un po' su questo sottoinsieme di \( \mathbb{R} \): \[ Y=\left\{\frac{1}{n}\ :\ n=1, 2, 3\ldots\right\} \]

ok questo insieme è discreto e credo non sia chiuso perchè considerando la successione {Xn}= 1/n che converge a zero, il limite non appartiene all'insieme Y questo significa che l'insieme non è chiuso.
ma se così fosse anche il punto 2 della domanda è falso perchè \( \mathbb{R} \) è metrico e avrei trovato un insieme non chiuso discreto. Quindi mi sbagliavo? se X è metrico e Y è discreto non è detto che sia chiuso?

[dissonance]

E tu che dici? Rispondi alla domanda con sicurezza, scrivendo tutti i dettagli. A quel punto ti posso dire se secondo me è giusto o no. Non chiedere conferma ad ogni passo.

[fede_mat11]

Ok secomendo me è così:
\[ Y=\left\{\frac{1}{n}\ :\ n=1, 2, 3\ldots\right\}\]
Y è discreto perchè \(\forall\) n, \(\exists\) B una palla aperta centrata in \(\frac{1}{n}\) tale che B \(\cap\) Y = {\(\frac{1}{n}\)} basta che prendo il raggio di B minore della distanza tra \(\frac{1}{n}\) e \(\frac{1}{n+1}\). Y però non è chiuso: infatti \(\mathbb{R} \) è metrico dunque affinchè Y sia un insieme chiuso deve contenere tutti i limiti delle successioni a valori in Y e convergenti ma la successione {Xn} ={\(\frac{1}{n}\) / n\(\in\)\(\mathbb{N}\) } converge a 0 che non appartiene ad Y \(\Rightarrow\) Y non chiuso
quindi è falso che un insieme discreto in uno spazio metrico è necessariamente chiuso.

[j18eos]

Tutto corretto!

...affinché Y sia un insieme chiuso deve contenere tutti i limiti delle successioni di Y e convergenti in Y...

Questa è una condizione necessaria e sufficienti (in generale) negli spazi \(\displaystyle N_1\). : )

[dissonance]

...affinché Y sia un insieme chiuso deve contenere tutti i limiti delle successioni di Y e convergenti in Y...

Non sono d'accordo con nessuno di questi remark in blu, tranne che sul primo (che comunque è veramente un dettaglio ortografico) . Se dici che una successione è convergente "in $Y$", io capisco che stai assumendo che il limite sia in $Y$. Aveva detto bene fede_mat.

Poi, una successione "a valori in $Y$" può non piacere esteticamente, ma è una locuzione corretta se si interpretano le successioni come mappe di $NN$ in uno spazio topologico. Semmai io direi "una successione di elementi di $Y$", o "di punti di $Y$".

[j18eos]

È esattamente quello che volevo dire; poi la locuzione "successione dell'insieme (non vuoto) \(\displaystyle S\)" non mi piace affatto, ma si tratta di un gusto personale.