integrale metodo residui

[valesyle92]

Salve ultimamente ho dei problemi nel calcolare usando il metodo dei residui certi integrali,
avevo già postato precendentemente un integrale e l'ho risolto ma adesso ho trovato un altro che mi da problemi


$\int_0^(infty) (x^(-1/3)/(1+x))$


la funzione integranda non è pari come posso operare?? Qualche suggerimento?

[Quinzio]

Non è dei più semplici, a mio avviso.
Devi creare due circonferenze centrate nell'origine:
- una la mandi all'infinito ($R->oo$)
- l'altra contiene la singolarità nell'origine e la mandi a zero $r->0$.
- poi colleghi le due circonferenze con un taglio "chirurgico" posto sull'asse reale positivo.
Quest'ultimo taglio come avrai intuito è quello che poi ti consente il calcolo dell'integrale.
Il percorso di integrazione diventa:
- da r ad R sull'asse reale positivo
- giro di 360° aniorario sulla circonferenza all'infinito
- da R ad r a ritroso sull'asse reale positivo
- giro di 360° in senso orario sulla circonferenza infinitesima che abbraccia l'origine.

Forse avrai già intuito che le due circonferenze danno contributo nullo all'integrale.
Ovviamente starai pensando che se l'asse reale viene percorso prima in un senso e poi nell'altro, non fornisce nessun contributo.
Non è così perchè la funzione $z^(-1/3)$ ha un punto di diramazione proprio nella zero e girando attorno all'origine una volta non ti "ritrovi" nello stesso punto.
Ti faccio un esempio perchè forse questo è il punto un po' più ostico.
Prendi $z^(1/2)=\sqrt z$ e immaginiamo un giro di 360° sulla circonferenza di raggio 1 centrata in O.
Alla partenza $z=1$ prendo $\sqrtz=1$, e pongo $z=e^(i\theta)$.
La mia funzione $\sqrtz$ diventa quindi $e^(i\theta /2)$.
Dopo un giro $\theta=2\pi$ mi ritrovo in $e^(i\pi) = -1$ e non in $1$ come si potrebbe erroneamente pensare.
Con $z^(-1/3)$ il concetto è lo stesso.

Mi rendo conto che visto così è abbastanza sconfortante, però prova, imposta i conti, poi vediamo dove ti fermi.
Ultimo, tieni conto che la regione contiene la singolarità in $-1$, quindi l'integrale non è nullo, ma tiene conto di quella singolarità.

[sonoqui_]

C'è una cosa che non capisco in questo tipo di esercizio. In teoria si potrebbe scegliere il percorso lungo una stessa circonferenza variando $theta$ nell'intervallo $[0,2pi]$, o in $[2pi,4pi]$ ... o si potrebbe fare anche più di un giro.
Se i risultati dell'integrale non vengono uguali nei diversi casi, che cosa si può concludere?

[Quinzio]

C'è una cosa che non capisco in questo tipo di esercizio. In teoria si potrebbe scegliere il percorso lungo una stessa circonferenza variando $theta$ nell'intervallo $[0,2pi]$, o in $[2pi,4pi]$ ... o si potrebbe fare anche più di un giro.
Se i risultati dell'integrale non vengono uguali nei diversi casi, che cosa si può concludere?

Temo di non aver capito la domanda.
Però non puoi fare più di un giro, devi fare un percorso chiuso, una curva di Jordan.

[sonoqui_]

Per esempio, per maggiore chiarezza, mettiamo di avere la funzione $y=z^(1/3)$ e di calcolare l'integrale lungo un percorso simile a quello proposto per l'esercizio, cioè due circonferenze concentriche con un taglio in direzione radiale che le unisce.
Se si indica con $r_1$ il raggio interno e $r_2$ quello esterno, si ha
$int_(0)^(2pi) r_1e^(itheta/3) d(theta) + int_(r_1)^(r_2) re^(i2pi/3) dr +int_(2pi)^(0) r_2e^(itheta/3) d(theta)+ int_(r_2)^(r_1) re^(i0/3) dr$
Ma si potrebbe avere anche, lungo lo stesso percorso
$int_(2pi)^(4pi) r_1e^(itheta/3) d(theta) + int_(r_1)^(r_2) re^(i4pi/3) dr +int_(4pi)^(2pi) r_2e^(itheta/3) d(theta)+ int_(r_2)^(r_1) re^(i2pi/3) dr$
I risultati possono venire diversi, quindi non saprei come conludere.

[JoJo_90]

Moderatore: JoJo_90

Sposto (anche) questo in Analisi Matematica.
@valesyle92: la sezione del forum più pertinente per questi quesiti è Analisi e non Ingegneria.

[Quinzio]

Per esempio, per maggiore chiarezza, mettiamo di avere la funzione $y=z^(1/3)$ e di calcolare l'integrale lungo un percorso simile a quello proposto per l'esercizio, cioè due circonferenze concentriche con un taglio in direzione radiale che le unisce.
Se si indica con $r_1$ il raggio interno e $r_2$ quello esterno, si ha
$int_(0)^(2pi) r_1e^(itheta/3) d(theta) + int_(r_1)^(r_2) re^(i2pi/3) dr +int_(2pi)^(0) r_2e^(itheta/3) d(theta)+ int_(r_2)^(r_1) re^(i0/3) dr$
Ma si potrebbe avere anche, lungo lo stesso percorso
$int_(2pi)^(4pi) r_1e^(itheta/3) d(theta) + int_(r_1)^(r_2) re^(i4pi/3) dr +int_(4pi)^(2pi) r_2e^(itheta/3) d(theta)+ int_(r_2)^(r_1) re^(i2pi/3) dr$
I risultati possono venire diversi, quindi non saprei come conludere.

Ok, ho capito.
L'esempio semplificato da te proposto ha però due problemi.
Il primo è che l'integrale sulla circonferenza all'infinito non tende a zero, quindi sostenzialmente il risultato è comunque infinito. Infatti
$\int_0^(oo)\ x^(1/3)\ dx$ non converge.
Poi, tutta quella somma di 4 integrali che hai scritto va messa uguale al residuo (moltiplicato $2\pi i $), ma in questo caso la funzione è olomorfa, e quindi va messo uguale a zero. Questo vanifica i nostri ragionamenti.
(Poi nota che dentro gli integrali va scritto ad es. $int_(2pi)^(4pi) (r_1)^(1/3)e^(itheta/3) d(theta)$, con la radice cubica)

Comunque il tuo dubbio è chiarissimo.
Riprendiamo l'esempio originale, e se scriviamo solo gli estermi degli integrali senza argomenti...

$\int_0^(2\pi)+\int_(r_2)^(r_1)+\int_(2\pi)^0+\int_(r_1)^(r_2)=2\pi iRes_f\ (-1)$
$\int_(r_2)^(r_1)+\int_(r_1)^(r_2)=2\pi i Res_f\ (-1)$

Ora, il fatto è che anche il residuo tiene conto del ramo della funzione $z^(-1/3)/(z+1)$ in cui ci troviamo e quindi, se non siamo più nel ramo principale, comunque, alla fine, il coefficiente immaginario dei due integrali si elide col coefficiente del residuo, (tenendo conto del $2\pi i$) e il risultato viene un numero reale, come dev'essere.
In definitiva, il ramo in cui ci troviamo non influisce sul risultato.

[sonoqui_]

Si, manca una radice cubica nell'integrale che ho scritto.
Ok, conviene verficare che l'integrale sia convergente prima di procedere con i conti, utilizzando uno dei criterii di convergenza validi anche per le serie, se non ricordo male.
Nel secondo passaggio che hai scritto c'è qualcosa che non mi torna, dato che gli integrali sugli angoli scompaiono. Questi vengono fatti a raggi diversi, sei sicuro che si semplifichino?

[Quinzio]

Non si semplificano, tendono a zero.
Tutti e due gli integrali sulle circonferenze hanno questa forma:

$\int_0^(2\pi)(r_2^(-1/3)e^(-i\theta/3))/(1+r_2e^(i\theta))\ i\ r_2e^(i\theta)\ d\theta $,

e se mi concedi di eliminare i termini "esponenziali", che hanno modulo unitario, e quindi di portare fuori dall'integrale i "raggi" abbiamo

$(r_2^(-1/3))/(1+r_2)\ r_2\ \int_0^(2\pi)d\theta =(r_2^(2/3))/(1+r_2)\ 2\pi$.

Se fai il limite del raggio a zero e poi a infinito vedi che il limite è sempre zero.

[sonoqui_]

I due integrali mi risultano di questa forma
$\int_0^(2\pi)(r^(-1/3)e^(-i\theta/3))/(1+re^(i\theta))d\theta$
Sinceramente non ho capito il passaggio di eliminazione dei termini esponenziali. Hai utilizzato il metodo di integrazione per parti per risolvere l'integrale?
Arrivato a questo punto mi verrebbe da sostituire
$e^(itheta)=costheta+isintheta$