Varianza distribuzione continua

[Boxyes]

Salve a tutti; mi devo calcolare alcune cosine su questa distribuzione.
$f(x)=k*x^3*e^(-x/2)$
definita per x positive.
Prima di tutto mi devo calcolare k, che io ho trovato facendo l'integrale tra $0$ e $oo$ e mettendolo uguale a $1$.
Ora io l'integrale lo ho risolto di forza bruta, iterando il per pareti, con risultato:
$k=1/96$
Fatto ciò mi dice di calcolare il valore atteso
$E(x)=\int_(0)^(\infty) (x^4*e^(-x/2))/96 dx$
anche qui ho fatto il per parti e mi torna $8$
Adesso la varianza io me la sarei calcolata con la formulina
$Var(x)=E(x^2)-E^2(x)$
dunque non devo far altro che trovarmi $E(x^2)$
Io, magari ingenuamente ho fatto semplicemente l'integrale
$E(x^2)=\int_(-\infty)^(\infty) (x^6*e^((-x^2)/2))/96 dx$
tra i due infiniti poichè per $x^2$ è sempre positiva.
Ho svolto anche qui un per parti dove sul finale mi sbuca
$\int_(-\infty)^(\infty) (e^((-x^2)/2)) dx$
che con una sostituzine mi dà l'integrale di Gauss il quale una volta valutato mi torna
$sqrt(2*\pi)$
e quindi trovo che
$E(x^2)=5/32*sqrt(2*\pi)$
e la varianza allora vale
$var(x)=5/32*sqrt(2*\pi) -64$
che è negativa, e quindi non va benissimo... Dove ho sbagliato?

[adaBTTLS]

è moltissimo tempo che non ho a che fare con questi argomenti, per cui non mi è facile aiutarti.
posso però provare a farti ragionare su qualche perplessità che ho avuto leggendo il tuo messaggio.
dal calcolo che hai eseguito per $E(x)$ mi è parso che $f(x)$ sia stata trattata come densità e non come distribuzione.
dal calcolo che hai eseguito per $E(x^2)$ mi sono persa: forse era un tentativo di considerare $f(x)$ come distribuzione, ma anche in quel caso non mi torna il quadrato. qual è la distribuzione e quale la densità?

[Boxyes]

Ciao, ho sbagliato a scrivere, ma quella è una densità.

[adaBTTLS]

ciao, ti dicevo che non mi tornava perché nelle formule che ricordo io la densità rimaneva invariata nel radicando, quando trovi la varianza, mentre è la distribuzione che andava al quadrato. qual è la distribuzione?

[hamming_burst]

Salve a tutti; mi devo calcolare alcune cosine su questa distribuzione.
$f(x)=k*x^3*e^(-x/2)$
definita per x positive.
Prima di tutto mi devo calcolare k, che io ho trovato facendo l'integrale tra $0$ e $oo$ e mettendolo uguale a $1$.
Ora io l'integrale lo ho risolto di forza bruta, iterando il per pareti, con risultato:
$k=1/96$
Fatto ciò mi dice di calcolare il valore atteso
$E(x)=\int_(0)^(\infty) (x^4*e^(-x/2))/96 dx$
anche qui ho fatto il per parti e mi torna $8$
Adesso la varianza io me la sarei calcolata con la formulina
$Var(x)=E(x^2)-E^2(x)$
dunque non devo far altro che trovarmi $E(x^2)$

ok.
PS: meglio denotare $E^2(x)$ con $E(x)^2$ oppure $[E(x)]^2$, il primo potrebbe avere significati fuorvianti.

Io, magari ingenuamente ho fatto semplicemente l'integrale
$E(x^2)=\int_(-\infty)^(\infty) (x^6*e^((-x^2)/2))/96 dx$
tra i due infiniti poichè per $x^2$ è sempre positiva.

la v.a. che hai esposto non è definta per valori negativi. Ti domando: perchè la varianza della v.a. dovrebbe avare valori in tale intervallo?
L'intervallo di definizione del valore atteso e della varianza è legato al dominio di definizione della pdf e non si "allarga".