Problema geometria analitica parabola

[kristie97]

Salve a tutti, mentre mi esercitavo nella risoluzione di problemi di geometria analitche sulle parabole mi è stato richiesto svariate volte di determinare una retta che stacchi una corda di lunghezza data sulla parabola, sapendo il coefficiente angolare di tale retta. Vi faccio un esempio:

"Determinare l'equazione di una parallela all'asse x che stacchi sulla parabola y= 4/3 x^2 -8/3 x +7/3 una corda AB di lunghezza 3"

Il coefficiente angolare è zero, per cui l'equazione della retta sarà semplicemente y=Q; da qui però mi blocco, ho cercato di utilizzare l'asse della parabola o un punto sulla parabola stessa, ma non arrivo al risultato corretto. Il risultato è y = 4.

Qual è il procedimento da utilizzare?

[kristie97]

Mi dispiace, non ho capito :/ imponendo la differenza tra le ascisse dei punti di intersezione uguale a 3 si ha la lunghezza della corda, ma come si collega all'equazione di secondo grado della parabola? E poi il valore k da dove proviene e come si giustifica?

[@melia]

Determinare l'equazione di una parallela all'asse x che stacchi sulla parabola $y= 4/3 x^2 -8/3 x +7/3$ una corda AB di lunghezza 3

Il fascio di rette da considerare è $y=k$, che va messo a sistema con la parabola:
$\{(y = k),(y= 4/3 x^2 -8/3 x +7/3):}$
Risolvendo il sistema ottieni due punti di coordinate $((2-sqrt(3k-3))/2, k)$ e $((2+sqrt(3k-3))/2, k)$, la distanza tra i due punti è data dalla differenza delle ascisse in quanto i punti hanno ugual ordinata, perciò
$|(2+sqrt(3k-3))/2-(2-sqrt(3k-3))/2|=3$, risolvendo l'equazione nell'incognita $k$ ottieni $k=4$, quindi l'equazione della retta cercata è $y=4$

[kristie97]

Melia sei fantastica come al solito ahahahahaha grazie mille ora mi è molto più chiaro! Grazie comunque a TeM perché ora ho capito quello che mi volevi suggerire