[EX] Ellissi e quadrati

[gugo82]

Problema:

Determinare, possibilmente senza usare tecniche di Calcolo Infinitesimale, l'ellisse di area minima circoscritta ad un quadrato con lati lunghi \(2k>0\).

[adaBTTLS]

Consideriamo l’ellisse, nel piano cartesiano Oxy, di equazione $(x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)=1$, circoscritta al quadrato di lato $2k$, con centro nell’origine e lati paralleli agli assi coordinati.
Le condizioni di “passaggio” dell’ellisse per i quattro vertici del quadrato si traducono con $x^2=y^2=k^2$, da cui, sostituendo nell’equazione dell’ellisse, si ha:
$(k^2*(a^2+b^2))/(a^2*b^2)=1 -> k^2*(a/b+b/a)=ab$.
Sapendo che l’area dell’ellisse è $pi*a*b$, moltiplicando membro a membro per $pi$, la quantità da minimizzare è $pi* k^2*(a/b+b/a)$, in cui $pi*k$, con $k$ assegnato, è costante, per cui lavoriamo con la semplice somma tra due frazioni reciproche $a/b+b/a$. Notiamo che deve risultare $a,b!=0$ anche perché, per vincoli geometrici, deve risultare $a,b>k$.
L’espressione $a/b+b/a$ assume valore $2$ se $a=b$; vogliamo verificare che $2$ è il minimo valore; a tal fine dimostriamo che la diseguaglianza $a/b+b/a>=2$ è sempre vera per $a,b>0$:
$a/b+b/a-2>=0$
$(a^2+b^2-2ab)/(ab) >=0$
$(a-b)^2/(ab)>=0$
Se $a!=b$, con $a$ e $b$ entrambi positivi o entrambi negativi, la diseguaglianza è verificata in senso stretto. Si ha l’uguaglianza se $a=b$.
Dunque si ha area minima se l’ellisse è il cerchio di raggio $k*sqrt 2$.
ciao!

[giammaria]

Avrei preferito lasciare questo problema agli studenti, ma poiché è già stata data una soluzione vi aggiungo la mia.

L'inizio è identico a quello di adaBTTLS, fino a
$k^2(a^2+b^2)=a^2b^2$
ma poi continuo con
$k^2[(a-b)^2+2ab]=a^2b^2$
$k^2(a-b)^2=ab(ab-2k^2)" "$ (formula 1)
Poiché il primo membro è non-negativo, anche il secondo deve esserlo; dato che $a>0;b>0$ ne consegue
$ab>=2k^2$
e quindi il valore minimo di $S=pi ab$ è $2pi k^2$. In corrispondenza ad esso si annulla il secondo membro della formula 1 e quindi deve farlo anche il primo; ne consegue $a=b=ksqrt2$.

[adaBTTLS]

Beh, bazzico da un po’ questa sezione del forum, e, nonostante il quesito mi sembrasse piuttosto semplice, ho deciso di rispondere comunque, e per più d’una ragione:
innanzitutto la garanzia dell’autore, che avrebbe potuto rivelare la solo apparente banalità della domanda;
tra l’altro, visto che io ho già risposto ad altri quesiti della sezione posti da altri, mi sarebbe parso persino scortese non rispondere a questo;
inoltre, io non sono una docente universitaria, per cui mi sento chiamata in causa più da quesiti che paiono rivolti a studenti, sia perché mi aiutano a sentirmi “mentalmente ancora giovane”, sia perché un confronto con studenti delle età dei miei alunni può aiutare me e loro.

Non è detto che persone con esperienza simile debbano avere la stessa opinione:
se io l’avessi pensata come te, giammaria, penso che non mi sarei lasciata coinvolgere e non avrei risposto.
Ciao.

[giammaria]

Ciao anche a te. Scusa se le mie parole sembravano un rimprovero per te; volevo solo spiegare perché prima avevo taciuto, così come anche in altri problemi. Purtroppo ho la netta impressione che siano molto pochi gli studenti delle superiori che frequentano questa sezione e quindi ben vengano gli altri.
STUDENTI in questione: se ci siete, battete un colpo.

[adaBTTLS]

Non me la sono presa, però mi pare che il tempo di risposta in questo caso sia stato veramente breve, rispetto ad altri quesiti, sia il mio rispetto a quello di Gugo82, sia il tuo rispetto al mio...
In realtà vorrei anch'io che gli studenti di tutte le età frequentassero più attivamente questa sezione!

[gugo82]

@ adaBTTLS: OK.
L'unica cosa che rimane in sospeso è perché uno si vada a cercare l'ellisse già in forma canonica, cioé centrata in \((0,0)\) e con gli assi lungo gli assi coordinati (che sono gli assi dei lati del quadrato)...

[adaBTTLS]

... nel senso che va specificato perché con questa scelta non si perde di generalità e/o perché si sceglie per semplicità, oppure sarebbe opportuno partire dall'equazione di una generica ellisse nel piano cartesiano, oppure addirittura sarebbe meglio non far riferimento alla geometria analitica?

EDIT: forse ho capito, nel senso che il piano cartesiano è una struttura che usiamo noi, mentre l'ellisse ha una definizione indipendente come luogo geometrico.
quindi si parte da un quadrato nel piano (diciamo "euclideo", ma senza formalizzare troppo), consideriamo una generica ellisse circoscritta al quadrato... poi assumiamo il piano cartesiano con centro nel centro del quadrato e assi paralleli ai lati ...
con questa premessa, il resto dei calcoli resta valido, magari aggiungendo qualche semplice proprietà geometrica.
però magari intendevi altro... il resto delle domande di cui su, prima dell'EDIT, resta valido.

ciao e grazie!

[gugo82]

Non mi sono spiegato bene.
In linea di principio, un'ellisse circoscritta al quadrato potrebbe avere assi "inclinati" rispetto a quelli che uno si aspetta (ossia, assi giacenti sugli assi dei lati del quadrato)... Quindi come faccio ad essere sicuro che non devo cercare un'ellisse "inclinata"?

[adaBTTLS]

se è solo questo, io rigirerei il problema: bisogna considerare necessariamente un caso a sé stante quello del quadrato con lati paralleli agli assi dell'ellisse, che porta alla necessaria coincidenza dei centri.
caso distinto da esaminare: lati del quadrato non paralleli agli assi dell'ellisse. considero sempre un sistema di assi cartesiani coincidente con gli assi dell'ellisse, e posso considerare i coefficienti angolari delle rette dei lati diversi da zero.
posterò più tardi qualcosa al riguardo.
ora però mi viene in mente un altro caso particolare da cui si deduce immediatamente che l'ellisse debba essere una circonferenza: magari aiuta per i calcoli considerare le rette delle diagonali anziché le rette dei lati...