Uguaglianza poco chiara

[Dexter]

Allora ho la seguente catena di uguaglianze:
$u(x,t)=1/2 (f(x+ct) + f(x-ct)) + \sum_{k=0}^\{+infty} g_k {ck \pi} /L (cos ({\pi k}/L (x+ct)) - cos (L/{\pi k} (x-ct)))= 1/2 (f(x+ct) + f(x-ct)) + \int_{x-ct}^{x+ct} g(y) dy$

È ovvio che il libro di testo pone:
$\sum_{k=0}^\{+infty} g_k {ck \pi} /L (cos ({\pi k}/L (x+ct)) - cos (L/{\pi k} (x-ct)))= \int_{x-ct}^{x+ct} g(y) dy$
Ma sulla base di cosa impone questa uguaglianza?
Come faccio ad ottenere dalla serie quell'integrale?