Calcolo probabilità

[Xorik]

Ciao a tutti chi mi darebbe una mano a risolvere questo esercizio che proprio non riesco a fare? Grazie mille!

Un virus può esistere in N forme. Ad ogni generazione il virus resta nella forma corrente con probabilità $1-alpha$ oppure, con probabilità $alpha$, muta in una delle altre forme (la forma in cui il virus muta è scelta a caso in modo equiprobabile tra le N-1 possibili). Supponendo che il virus si trovi inizialmente nella forma $f_0$, qual è la probabilità di ritrovarlo nella stessa forma dopo 2 generazioni?

[adaBTTLS]

Puoi provare a costruire un diagramma ad albero.
Comunque, visto che i casi sono pochi (si parla della seconda generazione), la questione si può affrontare semplicemente così: quali sono i casi incompatibili che conducono alla soluzione?
1) se $f_0$ rimane sia alla prima sia alla seconda generazione;
2) se alla prima generazione ci sarà una delle altre $N-1$ forme ed alla seconda generazione torna $f_0$.
Allora, la prima ipotesi si verifica con probabilità $(1-alpha)^2$; la seconda ipotesi si verifica con probabilità $alpha*alpha/(N-1)$.
OK?

[Xorik]

E' quello che ho provato a fare solo che io scrivevo che la seconda ipotesi si verifica con probabilità $alpha^2/(N-1)^2$. Perchè è sbagliata scritta così?

[adaBTTLS]

$alpha/(N-1)$ è la probabilità di passaggio alla singola forma, ma la prima probabilità è quella di passare da $f_0$ ad una qualsiasi delle altre, che sono $N-1$ ...

[Xorik]

Continuo a non capire...
1 generazione: $alpha*1/(N-1)$, muta e scelgo in cosa muta
2 generazione: $alpha*1/(N-1)$, muta di nuovo e scelgo in cosa muta di nuovo
...quindi non dovrebbe essere $alpha*1/(N-1)*alpha*1/(N-1)=alpha^2/(N-1)^2$?

[adaBTTLS]

Continuo a non capire...
1 generazione: $alpha*1/(N-1)$, muta e scelgo in cosa muta in quale muta? e se muta in un'altra?
2 generazione: $alpha*1/(N-1)$, muta di nuovo e scelgo in cosa muta di nuovo
...quindi non dovrebbe essere $alpha*1/(N-1)*alpha*1/(N-1)=alpha^2/(N-1)^2$?

quanti e quali casi stai trascurando?

[Xorik]

Credo di aver capito:
[muta in $f_(1,1)$] oppure [muta in $f_(1,2)$] oppure [muta in $f_(1,3)$] oppure....[muta in $f_(1,N-1)$]
$[alpha*1/(N-1)]+[alpha*1/(N-1)]+[alpha*1/(N-1)]+...+[alpha*1/(N-1)]$
$alpha*(1/(N-1)+1/(N-1)+1/(N-1)+...+1/(N-1))$
$alpha*((N-1)*1/(N-1))$
Da cui $alpha$

Mentre per la seconda generazione può mutare solo in $f_0$ che ha probabilità $1/(N-1)$ di accadere, ovviamente poi moltiplicata per la probabilità di mutare.

Ho capito bene?

[adaBTTLS]

sì, questo naturalmente è il caso in cui per tornare a $f_0$ muta due volte. poi c'è anche il caso in cui per due volte non muta, ma quello penso che ti fosse chiaro.
in realtà non hai dovuto fare la moltiplicazione per $N-1$ per ottenere $alpha$, ma il testo del problema ti forniva $alpha$ ed hai dovuto dividere per $N-1$ solo per trovare la probabilità di mutazione verso una forma in particolare.

[Xorik]

Perfetto ti ringrazio per la spiegazione e per la pazienza!!! Ciao

[adaBTTLS]

prego!
ciao