Troppo ...facile !

[ciromario]

Tra tutti i quadrilateri convessi, di dati lati ma di angoli variabili, determinare quello di area massima.
Lark

[adaBTTLS]

mi sorge un dubbio: i lati sono assegnati ordinatamente oppure sono date quattro misure che possono corrispondere ai singoli lati "a caso"?

[kobeilprofeta]

Quello che avrà tutti gli angoli il più possibile vicino a $pi/2$

[ciromario]

@Ada
Supponiamo che il quadrilatero ( convesso) sia $ABCD$, con i vertici in quest'ordine. Allora si può supporre
che sia :
$AB=a,BC=b,CD=c,DA=d$
con $a,b,c,d$ numeri assegnati.

[adaBTTLS]

sì, è come avevo pensato, anche se forse l'altra interpretazione potrebbe essere un'estensione del problema.
purtroppo, le condizioni per le quali possa esistere un quadrilatero convesso sono molto meno restrittive rispetto ad altre, quelle che possono venire in mente (inscrivibilità, circoscrivibilità, perpendicolarità delle diagonali, ....).
in realtà ho ricavato un'espressione dell'area in funzione di un angolo, ma è "orribile"!

[milizia96]

Ho elaborato una soluzione che fa uso della trigonometria, mi domando se ce ne possano essere di più eleganti che non lo fanno. La soluzione è strutturata in due parti: nella prima arrivo ad una condizione che mi piacerebbe fosse possibile realizzare, nella seconda dimostro appunto che è sempre possibile farlo.

Senza perdita di generalità sia $a^2+d^2 >= b^2+c^2$ e sia $a >= d$ (per evitare rogne alla fine).
Indico con $\alpha$ l'angolo tra $a$ e $d$, con $\beta$ l'angolo opposto.

PARTE 1

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Se tracciamo una diagonale (quella che separa i lati $a$ e $d$ da una parte, gli altri due dall'altra) l'area del quadrilatero è
$\frac{1}{2}(ad\sin\alpha + bc\sin\beta)$
Dobbiamo quindi massimizzare il valore dell'espressione $ad\sin\alpha + bc\sin\beta$
tenendo conto però che si deve avere contemporaneamente $a^2+d^2-2ad\cos\alpha = b^2+c^2-2bc\cos\beta$
In altre parole, il valore di $ad\cos\alpha - bc\cos\beta$ è fissato.
Quindi è fissato anche il suo quadrato: $a^2d^2\cos^2\alpha + b^2c^2\cos^2\beta - 2abcd\cos\alpha\cos\beta$ (fatto 1)

$ad\sin\alpha + bc\sin\beta$ si massimizza quando si massimizza il suo quadrato:
$a^2d^2\sin^2\alpha + b^2c^2\sin^2\beta + 2abcd\sin\alpha\sin\beta$
Equivalentemente, grazie al (fatto 1), massimizzo
$a^2d^2\sin^2\alpha + b^2c^2\sin^2\beta + 2abcd\sin\alpha\sin\beta + a^2d^2\cos^2\alpha + b^2c^2\cos^2\beta - 2abcd\cos\alpha\cos\beta$
$=a^2d^2 + b^2c^2 - 2abcd\cos(\alpha+\beta)$
Devo quindi minimizzare $cos(\alpha+\beta)$, e il meglio che posso sperare è porre $\alpha + \beta = \pi$

PARTE 2

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Controlliamo se è sempre possibile porre $\alpha + \beta = \pi$.
La condizione di "esistenza del quadrilatero" è l'uguaglianza già scritta
$a^2+d^2-2ad\cos\alpha = b^2+c^2-2bc\cos\beta$
che ora diventa
$a^2+d^2-2ad\cos\alpha = b^2+c^2+2bc\cos\alpha$
$\cos\alpha = \frac{a^2 + d^2 - b^2 - c^2}{2(ad+bc)}$
Ricordando che il numeratore non è negativo per quanto assunto all'inizio, basta controllare che
$a^2 + d^2 - b^2 - c^2 <= 2ad+2bc$
$a^2 + d^2 - 2ad <= b^2+c^2+2bc$
$(a-d)^2<=(b+c)^2$
$a-d <= b+c$ (ho usato l'assunzione iniziale)
$a <= b+c+d$
L'ultima disuguaglianza è vera per una sorta di analogo della disuguaglianza triangolare per i quadrilateri...

CONCLUSIONE

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L'area assume valore massimo quando gli angoli opposti sono supplementari

[milizia96]

Bonus 1: Generalizzare a poligoni con un numero qualsiasi di lati.
Bonus 2: E se i lati vengono dati sparsi, e voi potete sistemarli nell'ordine che volete?

[adaBTTLS]

la seconda, limitatamente ai quadrilateri, è la stessa del mio dubbio iniziale.
giacché ci siamo, milizia96, la tua verifica del fatto che sia possibile la tua soluzione (che poi sarebbe diventata la semplificazione della mia "orribile": magari la metto in spoiler) ha risposto ad uno dei miei dubbi (condizioni di inscrivibilità più restrittive?).

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la mia soluzione coincide con la tua nel mettere in relazione due angoli opposti, solo che io ho provato a scrivere la formula dell'area in funzione del tuo $alpha$.
No, non voglio affliggervi con quello che poteva risultare, scrivo solo i brevi passaggi che collegano il mio calcolo a quello di milizia96, lasciando lo stesso significato ad $alpha$, senza la restrizione sui lati:

$cos beta =(c^2+d^2-a^2-b^2+2ab cos alpha)/(2cd)$
$A= 1/2 ab sin alpha + 1/2 cd sin beta ," con " sin beta = sqrt(1-cos^2 beta)$

mi fermo qui.

ciao.

[ciromario]

@milizia
Forse volevi scrivere $\alpha+\beta=\pi$. Per il resto tutto molto bene. Se si vuole interpretare geometricanebte il risultato $\alpha+\beta=\pi$, si può dire che i quadrilateri, di dati lati, che si cercano sono quelli inscrittibili in una circonferenza. Ovviamente di tali quadrilateri ne esistono infiniti ma, avendo essi gli stessi lati, hanno pure la medesima area che è poi quella massima richiesta.

@Ada
Il procedimento è quello. Basta continuare come ha fatto Milizia.

Per il bonus 1 . si tratta di un famoso teorema dovuto ( pare) a Cramer e lo si risolve per assurdo. Se nessuno ci prova, tento io al ritorno.
Per il bonus 2 ci devo...pensare !

[milizia96]

Giusto, ho corretto.

[...] sono quelli inscrittibili in una circonferenza. Ovviamente di tali quadrilateri ne esistono infiniti ma, avendo essi gli stessi lati, hanno pure la medesima area che è poi quella massima richiesta.

Eppure dall'equazione che avevo scritto a un certo punto:
$cos\alpha = \frac{a^2+d^2-b^2-c^2}{2(ad+bc)}$
si vede come il coseno dell'angolo è univocamente determinato, se si conoscono le misure dei lati.
E si vede facilmente che, se fissi un angolo e vuoi che il quadrilatero sia ciclico, anche gli altri angoli sono univocamente determinati.
Quindi il quadrilatero che ha area massima (fissati i lati) è uno soltanto.