Dimostazione lemma indipendenza

[teopd]

Ciao a tutti!
Qualcuno può aiutarmi con tale dimostrazione?
Dimostrare il lemma di indipendenza: Dati i vettori v1, v2,..., vk linearmente indipendenti e v ∈ V . Allora i vettori v1, v2,..., vk, v sono linearmente indipendenti ⇔ v $\notin$ <v1, v2,..., vk>

Grazie!

[Gi8]

Tuoi tentativi?

[teopd]

Tuoi tentativi?

Pensavo al lemma dello scambio.. Però non so se sia corretta come soluzione.

[vict85]

Ragiona semplicemente sulle definizioni.

[garnak.olegovitc]

@teopd,

Ciao a tutti!
Qualcuno può aiutarmi con tale dimostrazione?
Dimostrare il lemma di indipendenza: Dati i vettori v1, v2,..., vk linearmente indipendenti e v ∈ V . Allora i vettori v1, v2,..., vk, v sono linearmente indipendenti ⇔ v $\notin$ <v1, v2,..., vk>

Grazie!

più che altro esiste una forma più generale di questo lemma:

siano dati \( V \) uno spazio vettoriale su \( K \), ed \( (v_1,v_2,...,v_n)\) vettori di \(V \), allora $$ (v_1,v_2,...,v_n) \text{ sono liberi su } K \Leftrightarrow \begin{cases}
\forall i \in \{2,...,n\}(v_i \notin \mathscr{L}(v_1,v_2,..,v_{i-1}))\\
\forall i \in \{1,2,...,n\}(v_i \neq 0_V)
\end{cases}$$

il primo verso \( \Rightarrow \) è davvero semplice, per il secondo verso un tuo tentativo?

Saluti