Equazioni differenziali con sostituzione

[Hartinx]

Salve a tutti, vorrei un piccolo aiuto nello svolgimento di questo esercizio:

Risolvere l'equazione differenziale:
$ y'=(x^2+y^2)/(xy) $
ponendo
$ z(x)= y/x $

Io l'ho svolto così:
sappiamo che $ z(x)= y/x $ allora $ y=xz $ da cui $ y'=z+xz' $. Considerata l'uguaglianza di $ y' $ e sostituendo avremo: $ z+xz'=x/y+z $
$ z'=1/y $
Adesso mi basta risolvere con gli integrali? Come dovrei procedere? Grazie in anticipo

[gugo82]

Nella equazione differenziale ausiliaria deve comparire unicamente \(z(x)\) come incognita.

[Hartinx]

ok quindi $ xz'=1/z $
$ zz'=1/x $
$ int z dz=int 1/x $
$ z=sqrt(2log|x|) $
sostituendo nella precedente relazione allora
$ y=xsqrt(2log|x|) $

Ho fatto bene?

[Hartinx]

up

[stormy]

non hai riportato la costante arbitraria
$z^2/2=ln|x|+lnc$,con $c>0$
$z^2=2lnc|x|$
$y=+-xsqrt(2lnc|x|)$

[Hartinx]

Giusto, grazie