Dimostrazione lati paralleli

[chiav53]

Come posso dimostrare che un quadrilatero che ha 4 lati congruenti (quindi un rombo) ha i lati paralleli a due a due?
E come faccio a dimostrare che un quadrilatero con i 4 angoli retti (quindi un rettangolo) ha i lati paralleli a due a due?

C'è qualche teorema che mi aiuta?
Perché nel primo caso (il caso del rombo) avevo pensato che se un quadrilatero ha i lati congruenti allora la distanza tra due lati opposti è costante e quindi sono paralleli. è giusto?

[adaBTTLS]

tracciando le diagonali si può dimostrare la congruenza di vari triangoli.
però alla base c'è il quinto postulato di Euclide e quindi anche gli angoli che si vengono a formare tra due rette, eventualmente parallele, ed una trasversale.

la tua proposta mi sembra un po' troppo azzardata: puoi comunque svilupparla passando attraverso altre proprietà.

[chiav53]

Ciao, grazie della risposta.
Non so se ho capito bene.
Nel caso del quadrilatero con i lati tutti congruenti per dimostrare la congruenza dei triangoli che si formano tracciando
le due diagonali come faccio?
Considerando due (dei 4) triangoli con un lato in comune io so soltanto che hanno un lato in comune e uno dei lati del primo triangolo è congruente a uno dei lati dell'altro triangolo.
Ora se riuscissi a dimostrare che le diagonali sono perpendicolari allora avrei finito applicando il teorema di Pitagora.
Oppure dimostrando che le diagonali coincidono con le bisettrici potrei concludere applicando uno dei teoremi di congruenza dei triangoli.
Ma come faccio?

E in ogni caso, una volta che sono riuscita a dimostrare che i 4 triangoli sono congruenti quale teorema mi permette di concludere che i lati del mio quadrilatero sono a due a due paralleli?
Grazie

[adaBTTLS]

in realtà, basta tracciare una diagonale, in ciascuno dei due casi specifici.
da un rombo, ottieni due triangoli isosceli, congruenti per il terzo criterio. il parallelismo risulterà dalla congruenza degli angoli alterni interni formati dai lati e dalla trasversale (retta della diagonale).
da un rettangolo, ottieni due triangoli rettangoli congruenti per il primo criterio, e analogamente risultano congruenti gli angoli alterni interni ...
prego... fammi sapere se ora è chiaro. ciao

[chiav53]

ok, grazie per la risposta.
Provo a vedere se ho capito:
Se ho un quadrilatero con 4 lati congruenti (quindi un rombo) $ABCD$ (per capirci chiamo $A$ il vertice in basso e poi $B$, $C$, $D$ i vertici a seguire in senso antiorario).
Tracciando la diagonale $CA$ per il terzo criterio di congruenza ho che i triangoli $CDA$ e $CAB$ sono congruenti.
Però per poter concludere il parallelismo per esempio tra i lati $CD$ e $AB$ devo sapere che l'angolo $DCA$ è uguale all'angolo $CAB$, e questo quale teorema me lo dice? Forse è proprio il terzo criterio di congruenza?
Perché se so che $CD$ è congruente ad $AB$, $DA$ è congruente a $CB$ e $CA$ è il lato in comune allora posso concludere che l'angolo $DCA$ è congruente all'angolo $CAB$?


Per quanto riguarda il quadrilatero con 4 angoli retti (quindi il rettangolo) come faccio ad applicare il primo criterio di congruenza?
Perché se traccio una delle diagonali ho due triangoli rettangoli con l'ipotenusa in comune.
Mentre per applicare il primo criterio di congruenza ho bisogno di due triangoli con due lati congruenti e il lato tra essi compreso uguale.
Grazie ancora

[adaBTTLS]

per quanto riguarda il primo caso, esatto: in generale, qualsiasi criterio di congruenza applichi, qual è la conclusione?
avendo alcuni elementi congruenti per ipotesi, si applica un criterio di congruenza per dire che i triangoli sono congruenti, dopodiché si conclude che, di conseguenza, i restanti elementi corrispondenti risultano congruenti (dalla congruenza dei triangoli).

per quanto riguarda l'altro problema, mi sono sbagliata io a scrivere il criterio: forse pensavo alla verifica del teorema inverso.

hai un quadrilatero con gli angoli retti, hai tracciato una diagonale che ha diviso il quadrilatero in due triangoli rettangoli;
dal fatto che la somma degli angoli interni di un triangolo è un angolo piatto, segue che gli angoli acuti di ciascuno dei due triangoli rettangoli sono complementari, e pertanto congruenti con gli "altri" angoli acuti dell'altro triangolo rettangolo... spero si capisca, altrimenti mettiamo i nomi ai vertici...
dunque i triangoli rettangoli risultano congruenti per il secondo criterio (non per il primo), avendo congruenti gli angoli e il lato in comune (ipotenusa). ma per te nemmeno serviva più la congruenza dei due triangoli, perché ti bastava la congruenza degli angoli acuti.

ciao. facci sapere.

[chiav53]

Ciao, grazie ancora per la disponibilità.
Allora in questo passaggio c'è una piccola cosa che non mi è chiara

per quanto riguarda il primo caso[...] si applica un criterio di congruenza per dire che i triangoli sono congruenti, dopodiché si conclude che, di conseguenza, i restanti elementi corrispondenti risultano congruenti (dalla congruenza dei triangoli)

[/quote][/quote]
Allora io applico un criterio di congruenza e concludo che i triangoli $CDA$ e $CAB$ che ho definito sopra sono congruenti, quindi per definizione di congruenza è possibile trasformare il triangolo $CDA$ nel triangolo $CAB$ per mezzo di un'isometria.
Ora la mia domanda è:
io (per avere il parallelismo tra il lato $CD$ e il lato $AB$) ho bisogno di sapere necessariamente che l'angolo $DCA$ è congruente all'angolo $CAB$.

Quello che so è che il triangolo $CDA$ è congruente al triangolo $CAB$ e quindi esiste un'isometria che mi permette di trasformare un triangolo nell'altro.
In generale però questa isometria potrebbe trasformarmi l'angolo $DCA$ per esempio nell'angolo $ACB$ (e non nell'angolo $CAB$).
Quindi mi chiedevo, se parto da una figura con 4 lati congruenti posso fare forse due ragionamenti:
1) siccome il lato $CD$ è congruente ad $AB$, e siccome il lato $DA$ è congruente a $CB$ allora i due triangoli sono congruenti e ho che l'angolo $DCA$ è uguale all'angolo $CAB$

2) se invece partissi dal fatto che il lato $CD$ è congruente il lato $CB$ e che il lato $DA$ è congruente al lato $AB$ allora comunque avrei due triangoli congruenti ma potrei solo concludere che l'angolo $DCA$ è uguale all'angolo $ACB$ (cosa che ai fini di ciò che voglio dimostrare io non mi interessa)

Quindi in conclusione la mia domanda è: è fondamentale in questo caso scegliere il ragionamento 1) invece del ragionamento 2), giusto?



In questa seconda parte invece ho un altro dubbio:

hai un quadrilatero con gli angoli retti, hai tracciato una diagonale che ha diviso il quadrilatero in due triangoli rettangoli;
dal fatto che la somma degli angoli interni di un triangolo è un angolo piatto, segue che gli angoli acuti di ciascuno dei due triangoli rettangoli sono complementari, e pertanto congruenti con gli "altri" angoli acuti dell'altro triangolo rettangolo

[/quote][/quote]
Non capisco perché se gli angoli acuti di ciascuno dei due triangoli rettangoli sono complementari allora sono necessariamente congruenti con gli altri angoli acuti dell'altro triangolo rettangolo.
Grazie e scusa per l'insistenza

[adaBTTLS]

riguardo al primo dubbio, il caso del triangolo in questione, essendo isoscele, non aiuta a chiarire il caso generale del confronto tra triangoli generici che possono essere scaleni: dalla congruenza dei lati a coppie segue la congruenza degli angoli a coppie non qualsiasi, ma angoli opposti a lati congruenti, ad esempio, sono congruenti.
nel caso particolare di due triangoli isosceli congruenti, risulterà che i due angoli al vertice sono congruenti, ed anche i quattro angoli alla base sono congruenti. a te interessano solo coppie di angoli alterni interni.

nel caso del secondo dubbio, se hai $a+b+c=180°, a=90°$ deduci che $b+c=90°$, ma è anche vero che i due angoli che formano lo stesso angolo retto (ed appartengono a due triangoli rettangoli diversi) sono complementari: diciamo $b+x=90°, c+y=90°$, da cui $x=c, y=b$.
prova a ricostruire; se necessario, userò altre notazioni, ma dovrebbe essere semplice.
fammi sapere. ciao.

[chiav53]

Perfetto grazie mille, adesso è tutto chiaro.
L'ultimissima cosa:

il caso generale del confronto tra triangoli generici che possono essere scaleni: dalla congruenza dei lati a coppie segue la congruenza degli angoli a coppie non qualsiasi, ma angoli opposti a lati congruenti, ad esempio, sono congruenti.

Questo fatto non è di solito specificato nell'enunciato dei teoremi di congruenza dei triangoli, ma se mi vado a vedere una qualsiasi dimostrazione di questi teoremi dovrebbe esserci, giusto?

[adaBTTLS]

dovrebbe comparire una parolina magica: "ordinatamente".
significa, ad esempio, che angoli opposti a lati congruenti, ad esempio, sono congruenti, o, viceversa, lati opposti ad angoli congruenti sono congruenti, ma anche che angoli compresi tra coppie di lati congruenti sono congruenti, o, viceversa, lati compresi tra coppie di angoli congruenti sono congruenti.
puoi provare a vedere ai capitoli 2 e 3, qui:
https://www.matematicamente.it/manuali-s ... -razionale