Problema sull'iperbole III Liceo Scientifico

[raffaele1965]

Ciao. Vorrei proporvi questo problema perché, per quanto io provi, non riesco a fare quadrare i risultati.
Probabilmente sbaglio i calcoli... non credo che il ragionamento sia sbagliato.
Ad ogni modo spero che qualcuno mi possa aiutare a capire.

Determina un punto P sull'iperbole di equazione $4x^2 - 5y^2 = 20$, in modo che sia $PF1^2$ + $PF2^2$ = $50$, essendo F1 ed F2 i fuochi dell'iperbole.

Risultato ($10/3$, $2sqrt(11)/3$) e simmetrici...

Grazie

Raffaele

[raffaele1965]

Allego l'immagine del file creato con GeoGebra.

[IMG]http://i61.tinypic.com/2d8kxt4.png[/IMG]

Raffaele

[minomic]

Ciao,
per prima cosa scriviamo l'iperbole in forma normale: \[\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{4}=1\] Questo ci permette di dire che $a = sqrt(5)$ e $b = 2$. Quindi \[c = \sqrt{a^2+b^2} = 3\] Di conseguenza i fuochi sono \[F_1\left(-3,0\right) \qquad F_2\left(3,0\right)\]
Consideriamo un generico punto $P(x,y)$. Abbiamo \[\overline{PF_1}^2 = \left(x+3\right)^2+y^2\] \[\overline{PF_2}^2 = \left(x-3\right)^2+y^2\] Quindi la loro somma è data da \[2x^2+18+2y^2\] Imponendo la condizione richiesta dall'esercizio abbiamo \[2x^2+18+2y^2 = 50 \quad\Rightarrow\quad x^2+y^2=16\] Ora mettiamo questa equazione a sistema con l'equazione dell'iperbole e abbiamo finito. Ad esempio possiamo moltiplicare l'ultima per $4$ e sottrarre membro-a-membro: otteniamo \[9y^2 = 44 \quad\Rightarrow\quad y^2 = \frac{44}{9}\] la cui radice è il risultato da te proposto.

[raffaele1965]

Grazie. Hai raggiunto il risultato da un altro punto di vista.

Io avevo ricavato la y dall'equazione dell'iperbole e calcolato le distanze $PF_1$ e $PF_2$; quindi, ho inserito queste ultime nella relazione data.

Niente da fare.

Forse non è un ragionamento corretto?

Mi spiace che l'immagine non sia stata caricata correttamente.
Raffaele

[minomic]

Come ragionamento mi sembra corretto anche il tuo, anche se meno agevole. Ci sarà qualche errore nei calcoli.

[minomic]

Ecco i calcoli corretti seguendo il tuo ragionamento.
Ricavo la $y$ dall'iperbole: \[y = \sqrt{\frac{4x^2-20}{5}}\] A questo punto abbiamo \[\overline{PF_1}^2 = (x+3)^2+\frac{4x^2-20}{5}\] \[\overline{PF_2}^2 = (x-3)^2+\frac{4x^2-20}{5}\] Prendo la loro somma e la uguaglio a $50$: \[2x^2+18+\frac{8x^2-40}{5} = 50\] Divido per due e intanto spezzo la frazione: \[x^2+9+\frac{4}{5}x^2-4=25\] \[\frac{9}{5}x^2 = 20 \quad\Rightarrow\quad x^2 = \frac{100}{9}\] e di nuovo la radice porta al tuo risultato.

NOTA. Come vedi, quando ho isolato la $y$ ho evitato di mettere il $+-$ ma ho considerato solo il caso positivo. Questa "dualità" è uno dei motivi per cui questa strada non mi sembrava la migliore. Comunque con qualche attenzione si può fare ugualmente.

[raffaele1965]

Riflettendo ancora. Mi sembra che la tua relazione ovvero $PF_1^2 = ( x+3)^2 + y^2$ sia la formula della distanza? Giusto?

Tu hai usato il mio ragionamento; dove ho sbagliato?

Raffaele

[minomic]

Gli approcci sono diversi perché io ho lasciato la $y$ mentre tu l'hai sostituita con quella ricavata dall'iperbole. Poi ovviamente sì: quella è la formula della distanza tra due punti. Comunque ho postato anche i calcoli corretti seguendo il tuo approccio (due post più in alto).

[raffaele1965]

Grazie. Sbagliavo il calcolo.