Insiemi numerici

[marcus112]

Mi è nato un dubbio, per cui chiedo un vostro parere:
Linsieme dei numeri naturali è un sottinsieme dei numeri razionali assoluti perchè ogni numero intero può essere espresso come $a/1, ainNN$
(Questo l'ho trovato scritto in molti libri), e qui ci siamo;

ma se volessi dire che qualsiasi numero intero può essere ricavato da
$a/b, b=!0$
non è la stessa cosa? Mi spiego: esempio il numero $3$ può espresso come
$15/3$
Altro dubbio:
Se l'insieme dei numeri razionali assoluti è dato dall'unione dei numeri naturali + tuti i risultati delle divisioni che nei numeri naturali non sono possibili, esempio:
$2:3=2/3$ perchè dai razionali assoluti si esclude lo zero. Essendo sempre definita la divisione, in questo insieme, mi sembra che
$0/1=0$ non cambi le cose.

[Zero87]

ma se volessi dire che qualsiasi numero intero può essere ricavato da
$a/b, b=!0$

Il punto esclamativo va prima, sennò resta lì in mezzo: personalmente uso "\ne" (abitudine LaTeX) e intendo la tua scrittura
$a/b, b \ne 0$.

Comunque ci sono alcuni errori in questa espressione.
Il primo è che devi aggiungere come condizione una del tipo $a=kb$ con $k$ intero altrimenti avresti "robe" non intere tipo $5/4$.

Inoltre devi tirare in ballo le classi di equivalenza semplicemente per evitare fastidiose ripetizioni:
$15/3=10/2=5/1=...$.
Non che sia sbagliato, anche perché negli insiemi si dice sempre che un elemento si prende una sola volta. Comunque in linea di massima il tuo ragionamento mi sembra corretto, ma alla fine è ridondante perché basta $n/1$ senza che guardiamo le varie ripetizioni (come detto).

[marcus112]

In un mio libro trovo scritto: la divisione nell'insieme dei numeri razionali assoluti, escluso lo zero,è sempre definita.
Comunque
perchè dai razionali assoluti si esclude lo zero?

[minomic]

Ciao,
quella frase non significa che $0$ non è razionale. Significa che tra due numeri razionali si può sempre fare la divisione, a patto che il divisore non sia $0$.

[marcus112]

Tutto chiaro.....ma per razionali assoluti non si intendono solo i razionali positivi, o c'è differenza nel dire razionali assoluti e razionali positivi.

[adaBTTLS]

Se vaghi un po' per il forum, in diverse occasioni si è affrontato il problema dello zero (anche sull'appartenenza all'insieme $NN$).
In generale, per razionali assoluti si intendono "le frazioni senza segno", cioè i razionali non negativi, compreso lo zero; comunque, come dicevo, non si è conformi sul considerare lo zero in $NN$, e di conseguenza nemmeno in $QQ_a$.
Direi solo che, se $0$ non viene considerato tra gli elementi, non dovrebbe essere indispensabile specificare che nella divisione non possiamo considerare lo zero come divisore....

[gio73]

Ciao
lo zero è un numero molto interessante, secondo voi si potrebbe dire che è l'elemento che separa i numeri positivi (interi, razionali, reali) dai numeri negativi (interi, razionali, reali)?

[minomic]

lo zero è un numero molto interessante, secondo voi si potrebbe dire che è l'elemento che separa i numeri positivi (interi, razionali, reali) dai numeri negativi (interi, razionali, reali)?

A sentimento direi di sì, anche se non so se la cosa sia formalmente corretta.

[Zero87]

lo zero è un numero molto interessante, secondo voi si potrebbe dire che è l'elemento che separa i numeri positivi (interi, razionali, reali) dai numeri negativi (interi, razionali, reali)?

A sentimento direi di sì, anche se non so se la cosa sia formalmente corretta.

Ok, inizio bacchettandomi perché sto andando ot!

Comunque potrebbe esserci una dimostrazione dello stesso tipo di quella che dimostra che $\sqrt(2)$ è l'elemento separatore tra le due successioni di razionali (una per difetto, una per eccesso).

[gio73]

E' quello che pensavo anche io Zero.