Costruzione poligoni con il compasso

[DavideGenova]

Ciao, amici! Hilbert enuncia il teorema per cui

Teorema 65. - Sia dato un problema geometrico di costruzione del tipo in cui si possano trovare, mediante trattazione analitica dello stesso, le coordinate dei punti cercati da quelle dei punti dati unicamente mediante operazioni razionali ed estrazioni di radici quadrate; sia $n$ il minimo numero di radici quadrate che bastano in questo caso al calcolo delle coordinate dei punti; allora condizione [...] sufficiente affinché il problema proposto possa venire risolto soltanto mediante tracciamento di rette e trasporto di segmenti è che il problema geometrico, con l'introduzione degli elementi impropri, possegga esattamente $2^n$ soluzioni reali e questo per tutte le posizioni dei punti dati, cioè per tutti i valori dei parametri arbitrari che figurano nelle coordinate dei punti dati.

Più avanti trovo scritto

Come esempio di applicazione del teorema 65 possono servire i poligoni regolari costruibili con il compasso: in questo caso non compare un parametri arbitrario $p$; inoltre le espressioni da costruire rappresentano tutte numeri algebrici. Si vede facilmente che il criterio del teorema 65 è soddisfatto e si ottiene quindi che si può costruire ognuno di quei poligoni regolari anche soltanto con il tracciamento di rette e con il trasporto di segmenti

A me non risulta affatto facile vedere questa cosa. Osserverei che il criterio del teorema 65 è soddisfatto se sapessi che le radici che compaiono nella parte reale e in quella immaginaria di \(e^{2\pi\text{i}/n}\) sono totalmente reali, ma questo non mi appare affatto evidente.
So che un $n$-gono regolare è costruibile con riga e compasso se e solo se la funzione di Eulero \(\varphi\) assume in $n$ il valore \(\varphi(n)=2^{k}\) per qualche $k\in\mathbb{N}$ e d'altra parte so che \(\varphi(n)=[\mathbb{Q}(e^{2\pi\text{i}/n}):\mathbb{Q}]\), quindi un $n$-gono regolare è costruibile con riga e compasso se e solo se il grado del polinomio minimo su $\mathbb{Q}$ di \(e^{2\pi\text{i}/n}\) è una potenza di 2, ma da questo non riesco a ricavare nulla...
Qualcuno sarebbe così gentile da darmi una mano a capire questo fatto?
$\infty$ grazie!!!

P.S.: Ho postato qui perché l'approccio che mi è più familiare con queste costruzioni è quello algebrico che ho studiato sull'Algebra del Bosch. Mi scuso con i moderatori se avessi sbagliato sezione e fosse il caso di spostare in Geometria...

[adaBTTLS]

non sono sufficientemente lucida per capire la prima parte;
ti posso però dire che che per l'n-gono regolare, n non è necessariamente una potenza di due, altrimenti il triangolo, il pentagono e l'esagono non sarebbero costruibili con riga e compasso, ad esempio.
n, scomposto in fattori "primi" (uso le virgolette perché ci rientrano i numeri primi di Gauss, che in realtà non sono tutti primi, mi pare che siano noti anche come numeri di Fermat), può avere come fattori, a parte il 2 che può comparire ad una potenza qualsiasi, altri numeri che possono essere elevati solo alla prima potenza e devono essere della forma $(2^(2^k)+1)$, i cosiddetti numeri primi di Gauss:

$n=2^h * (2^(2^(k_1))+1)*(2^(2^(k_2))+1)*...*(2^(2^(k_m))+1)$

non so se ti è utile per collegarti con il resto, spero che comunque ti chiarisca qualche dubbio....; volevo provare a ritrovare l'argomento per darti qualche indicazione in più su cosa cercare, ma non ci sono riuscita.
ciao.

[DavideGenova]

n, scomposto in fattori "primi" (uso le virgolette perché ci rientrano i numeri primi di Gauss, che in realtà non sono tutti primi, mi pare che siano noti anche come numeri di Fermat), può avere come fattori, a parte il 2 che può comparire ad una potenza qualsiasi, altri numeri che possono essere elevati solo alla prima potenza e devono essere della forma $(2^(2^k)+1)$, i cosiddetti numeri primi di Gauss:

$n=2^h * (2^(2^(k_1))+1)*(2^(2^(k_2))+1)*...*(2^(2^(k_m))+1)$

Grazie per la risposta!!!
Sì, infatti so che per ogni $n\geq 2$ la funzione di Eulero \(\varphi(n)\) vale una potenza di 2 proprio se e solo se esistono numeri primi di Fermat $p_1...p_r$ distinti tali che, per qualche $m\in\mathbb{N}$, valga \(\varphi(n)=2^m p_1...p_r\). Tuttavia non saprei come utilizzare quel (poco) che so della trattazione algebrica del problema della costruzione con riga e compasso degli $n$-goni regolari per vedere (facilmente per il mio omonimo, ma lui era lui...) quanto afferma Hilbert.

[adaBTTLS]

prego!
dalla risposta di Martino ad un altro tuo messaggio, ho cercato "coniugato di un numero reale", trovando ben poco, ed in particolare una pagina che il mio sistema "rifiuta" ed una vecchia pagina di un altro forum che dice solo cose banali se non errate; cercando "polinomio minimo" ho trovato una paginetta che ti ho già segnalato lì e che ti posso ricopiare anche qui:
http://www.wikideep.it/polinomio-minimo/

[_fabricius_]

Qui (Teorema 2.1) si prova che un numero complesso è costruibile se e solo se il campo di spezzamento del suo polinomio minimo ha grado $2^k$ su $QQ$ per qualche k, e quindi anche ogni coniugato del numero è costruibile avendo lo stesso polinomio minimo. Tuttavia un numero complesso è costruibile (per definizione) se e solo se lo sono le sue due coordinate (in senso classico).
A questo punto è possibile che Hilbert consideri come soluzioni geometriche i punti e non le singole coordinate?

[DavideGenova]

un numero complesso è costruibile se e solo se il campo di spezzamento del suo polinomio minimo ha grado $ 2^k $ su $ QQ $ per qualche k

Fin qui ci sono, come detto nel primo messaggio del thread, perché ho studiato queste cose sul Bosch, ma non sono sicuro di che cosa intendi con il considerare come soluzioni geometriche i punti e non le singole coordinate... Hilbert parla di trattazione analitica del problema geometrico, cosa che direi che porti ad identificare gli uni e le coppie delle altre... O mi perdo qualcosa? $\infty$ grazie per l'intervento e le chiacchierate!

[_fabricius_]

Sì, la prima parte del messaggio era soprattutto per ricapitolare la situazione.

Mi è sorto il dubbio che soluzione geometrica reale=punto geometrico=coppia di coordinate reali, pertanto il fatto che il problema abbia $2^k$ soluzioni deriva dal fatto che $2^k$ sono i punti dell'n-agono che corrispondono a radici dell'n-esimo polinomio ciclotomico, ossia sono quelli che permettono di costruire tutti gli altri ripetendo la stessa distanza col compasso.

[DavideGenova]

Sono convinto anch'io di questa relazione tra il fatto che \(e^{2\pi\text{i}/n}\) (cioè l'$n$-gono regolare) è costruibile con riga e compasso se e solo se \([\mathbb{Q}(e^{2\pi\text{i}/n}):\mathbb{Q}]=2^k\) per qualche $k$, ma non sono in grado di accertarmi che tale $k$ coincida con il minimo numero di radici quadrate che bastano in questo caso al calcolo delle coordinate dei punti... $\aleph$ grazie!!!

[_fabricius_]

Mmm, spero di non dire boiate ma dal momento che l'estensione $\mathbb{Q}(e^{2\pi\text{i}/n})$ è semplice, tutti i suoi automorfismi mandano $e^{2\pi\text{i}/n}$ in una delle $2^k$ radici, vale a dire che vi sono $2^k$ automorfismi nel gruppo di Galois. Ma è noto che per i gruppi di cardinalità potenza di un primo esiste una successione di sottogruppi annidati uno nell'altro, ognuno normale nel successivo e tali che il grado di ciascuna estensione sia proprio p. Ora, giocando un po' col teorema di corrispondenza di Galois, alla catena di sottogruppi corrisponde una catena di sottocampi da $QQ$ a $\mathbb{Q}(e^{2\pi\text{i}/n})$, ognuno estensione del precedente, e il grado di ciascuna estensione è due. Infine il grado di un estensione è due se e solo se si ottiene aggiungendo una radice quadrata (basta pensare alla formula risolutiva delle equazioni di secondo grado).

[DavideGenova]

dal momento che l'estensione $ \mathbb{Q}(e^{2\pi\text{i}/n}) $ è semplice, tutti i suoi automorfismi mandano $ e^{2\pi\text{i}/n} $ in una delle $ 2^k $ radici, vale a dire che vi sono $ 2^k $ automorfismi nel gruppo di Galois.

Certo: se \(L/K\) è galoisiana e finita allora \(\text{ord Gal}(L/K)=[L:K]\).

Ma è noto che per i gruppi di cardinalità potenza di un primo esiste una successione di sottogruppi annidati uno nell'altro, ognuno normale nel successivo e tali che il grado di ciascuna estensione sia proprio p. Ora, giocando un po' col teorema di corrispondenza di Galois, alla catena di sottogruppi corrisponde una catena di sottocampi da $ QQ $ a $ \mathbb{Q}(e^{2\pi\text{i}/n}) $, ognuno estensione del precedente, e il grado di ciascuna estensione è due.

Fin qua ci sono, dalla teoria dei $p$-gruppi e da quella di Galois.

Infine il grado di un estensione è due se e solo se si ottiene aggiungendo una radice quadrata (basta pensare alla formula risolutiva delle equazioni di secondo grado).

Certo: con $k$ estrazioni di radici ci troviamo naturalmente, ripetendo l'estrazione sulle radici previamente ottenute, con $2^k$ numeri complessi. Mi manca però di capire come facciamo a sapere che dopo l'estrazione di $k$ radici di numeri complessi ci ritroviamo con $2^k$ radici complesse tra le parti reale ed immaginaria delle quali ci siano esattamente $2^n$ (o $2^k$) radici reali: se ad un certo passo mi trovassi con qualcosa della forma \(a\pm\sqrt{b\pm i\sqrt{c}}\)? Scusa se sono duro di comprendonio... E grazie di cuore ancora!