dire per quale valore di k la retta e secante alla parabola

[mat]

ho trovato la retta r che è y=-5x+3

si sostituisce alla y la retta r dopo aver messo tutto sotto sistema e poi mi rimarrebbero comunque due incognite? come si risolve?

la parabola è $2x^(2)+y+8x +k$

ho provato a risolverla così
$\{(y=-5x+3),(2x^(2)+y+8x+k):}$

$\{(2x^(2)-5x+3+8x+k),(y=-5x+3):}$

$\{(x(2x+3)=-k-3):}$

$\{(5k=-15):}$

k=-3

[HiroshiAC]

Sei partito bene considerando quel sistema (anche se credo che ti sia scordato un =0). Poi non ho capito il procedimento che hai usato per arrivare a k=-3. Comunque per risolverlo devi considerare la definizione di retta secante e trarne le dovute conseguenze

[axpgn]

Quando due curve hanno punti in comune, le coordinate di questi devono soddisfare le equazioni di entrambe; perciò le mettiamo a sistema per trovare questi valori. Si può notare che operando in questo modo otteniamo una nuova equazione di 2° grado la cui soluzione ci permette di giungere ai valori cercati; se saranno due avremo due punti distinti e quindi la conferma che la nostra retta è secante, altrimenti no.
Nel nostro caso sarebbe:
${(y=-2x^2-8x-k),(y=-5x+3):}$
da cui
${(-5x+3=-2x^2-8x-k),(y=-5x+3):}$
e quindi
${(+2x^2+8x+k-5x+3=0),(y=-5x+3):}$
ed infine
${(+2x^2+3x+k+3=0),(y=-5x+3):}$.
Fin qui tutto bene se non fosse che nella nostra curva c'è un parametro; ciò significa che le nostre soluzioni non saranno determinate fino a che non fisseremo un valore di $k$; come possiamo quindi sapere se la nostra retta è una secante se non conosciamo i punti (eventuali) in comune tra le due curve?.
Se riflettiamo un attimo però ci accorgiamo che ci è sufficiente sapere se le soluzioni sono due oppure no, e questo lo possiamo appurare SENZA risolvere l'equazione di 2° grado, ci basta verificare se il discriminante è positivo.
Quindi poniamo $Delta>0 => b^2-4ac>0 => (3)^2-4*(2)*(k+3)>0 => 9-8k-24>0 => 8k+15<0 => 8k<-15 => k=-15/8$.
Perciò per tutti i valori di $k<-15/8$ la retta è secante la parabola (se non ho sbagliato i conti )

Cordialmente, Alex

[mat]

si ho capito grazie