Quesito di calcolo delle variazioni

[newton_1372]

Se ho una funzione H(q,p), e una trasformazione Q(q,p),P(q,p) tali che esiste una funzione K(Q,P) soddisfacente
$$\delta \int P\dot Q - K dt =0$$ (1)
e supponiamo inoltre che valga anche
$$\delta \int p\dot q - H dt =0$$ (2)

Con queste due ipotesi, dono in grado di dire che i due integrali sono uguali a meno di una derivata rispetto a t, cioè che vale

$P\dot Q-K =\lambda(p\dot q - H) +\frac{df}{dt}$?


Grazie mille!

[newton_1372]

up

[newton_1372]

Up...in particolare, volevo sapere se c'è un "se e solo se", ovvero se le trasformazini $$Q(q,p), P(q,p)$$ tali che esiste K(Q,P,t) soddisfacente

$$\delta \int_{t_A}^{t_B} P\dot Q -K(Q,P,t)dt=0$$ se e solo se

$$\delta \int_{t_A}^{t_B} p\dot q -H(q,p,t)dt=0$$

sono tutte e sole quelle che soddisfano l'uguaglianza

$$P\dot Q - K = \lambda(p\dot q -K)+\frac{df(Q,P,q,p)}{dt}$$

[newton_1372]

up

[dissonance]

Stai per caso leggendo il libro di Strumia di meccanica razionale? Mi pare che lì ci fosse questo errore. Credo infatti che il "se e solo se" non valga. Sul libro di Goldstein la cosa è spiegata meglio, se non ricordo male.

[newton_1372]

Si mi hai sostanzialmente beccato! Però anche nel Goldstein c'è una "dimostrazione" del fatto che, se una trasformazione è CANONICA, allora deve essere di quella forma lì con la derivata...il modo in cui lo dimostra però non mi convince. Il fulcro del mio dubbio è:
TUTTE E SOLE LE FUNZIONI A VARIAZIONE NULLA sono delle derivate rispetto al tempo?

Ovvero, chiarendo meglio la domanda: sia F t.c.

$$\delta F = 0$$ per ogni variazione delle q,p,Q,P. Allora posso scrivere che
$$F=\frac{dG}{dt}$$?

[newton_1372]

up

[dissonance]

Mi ricordo che questa cosa sconvolse pure me qualche anno fa. Niente, te la devi tenere così: non è un "se e solo se" ma i fisici si comportano come se lo fosse. Strumia lo fa in modo sfacciato, Goldstein dice almeno un paio di parole al riguardo, ma la sostanza è la stessa.

P.S.: Ora non ho tempo di mettermi a riguardare i dettagli ma ricordo benissimo che fu questa la conclusione a cui giunsi all'epoca.

[newton_1372]

"Non è un se e solo se ma i fisici si comportano come se lo fosse?" Questa affermazione mi causa il mal di fegato, niente di personale ovviamente, Dissonance...

[newton_1372]

Non è che conosci un qualche testo che possa farmi definitivamente rifulgere il sublime splendore della verità al riguardo? Ogni trasformazione canonica ha un generatore? Qualcuno mi ha detto di si....