[RISOLTO]Punti di massa variabile aleatoria

Messaggioda delca85 » 15/07/2014, 14:17

Ciao a tutti!
Ho bisogno di una mano a risolvere questo esercizio di probabilità:

Supponiamo che il numero di occorrenze di un dato fenomeno in un intervallo (di tempo o di spazio) di ampiezza $d$ possa modellarsi con una variabile casuale $X(d)$ distribuita secondo la legge di Poisson di paramentro $\lambda_{X(d)} = \nu * d$ con $\nu \gt 0$.
Fissata una costante $c$, si consideri la variabile $Y = c * X(1)$. Quali sono i punti di massa di $Y$?


La risposta è che i punti di massa di $Y$ sono nell'insieme ${0, c, 2 * c, ...}$ ma io non riesco a capire il perché.

La distribuzione di probabilità di Y ha funzione $f_Y (x) = c * \frac{e^{-\nu} * \nu^x}{x!} * I_{{0, 1, 2,...}}(x)$.
Perché, allora, i punti di massa sono gli stessi di $X$ moltiplicati per la costanza? I punti di massa, non sono i valori che la variabile aleatoria discreta può assumere, quindi il codominio della funzione che definisce la variabile aleatoria discreta?

Spero in un vostro aiuto, sto preparando da sola l'esame di probabilità e brancolo nel buio!
Ultima modifica di delca85 il 24/08/2014, 07:40, modificato 1 volta in totale.
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Re: Punti di massa variabile aleatoria

Messaggioda elgiovo » 24/07/2014, 19:06

$X$ e' una variabile aleatoria discreta (di Poisson), quindi puo' valere \(\displaystyle 0 \), \(\displaystyle 1 \), \(\displaystyle 2 \), ecc. Del resto conta un numero di occorrenze (tipo chiamate telefoniche a un centralino).
Se la moltiplichi per $c$ quali vuoi che siano i valori di uscita, se non $0$, $c$, $2c$, ecc.?
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Re: Punti di massa variabile aleatoria

Messaggioda delca85 » 29/07/2014, 11:30

Effettivamente c'è poco da dire.
Non so quale dubbio assurdo mi fosse venuto.
Grazie e scusate.
delca85
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Re: Punti di massa variabile aleatoria

Messaggioda delca85 » 23/08/2014, 09:59

Sono di nuovo qui con alcuni dubbi riguardo questo esercizio.
Se la variabile aleatoria $X$ ha funzione densità di probabilità $f_X$, la variabile aleatoria $Y = c * X$ con $c$ costante, quale funzione di densità di probabilità ha? Non è corretto dire che sia $f_Y = c * f_X$, giusto?

Grazie!
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Re: Punti di massa variabile aleatoria

Messaggioda delca85 » 23/08/2014, 12:02

Mi rispondo da sola, spero qualcuno mi corregga in caso stessi scrivendo l'ennesima boiata.

L'area sotto la curva definita dalla funzione di densità di $Y$ deve valere sempre, ovviamente, 1. Quindi:
$\int_{-\infty}^{\infty} f_Y(y) dy = 1$. Sappiamo che $dy = c*dx$, quindi deve essere $\int_{-\infty}^{\infty} f_Y(y) c dx = 1$.
Questo è possibile solo se $f_Y(y) = ( f_X(x)) / c$, altrimenti scritto $f_Y(y) = (f_X(y/c)) / c$.

Nel mio esempio, di conseguenza, possiamo dire che $f_Y(y) = 1/2 * (e^-2 * 2^(y / 2)) / ((y/2)!) * I_{{0, 2, 4, ...}} (y)$.

Edit: probabilmente questo ragionamento non vale anche per le variabili scalari. In ogni caso, la soluzione del mio libro, mi sembra essere $f_Y(y) = f_X(y/2) = (e^-2 * 2^(y / 2)) / ((y/2)!) * I_{{0, 2, 4, ...}} (y)$, anche se non capisco perfettamente il perché.
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Re: Punti di massa variabile aleatoria

Messaggioda elgiovo » 23/08/2014, 18:39

delca85 ha scritto:Sono di nuovo qui con alcuni dubbi riguardo questo esercizio.
Se la variabile aleatoria $X$ ha funzione densità di probabilità $f_X$, la variabile aleatoria $Y = c * X$ con $c$ costante, quale funzione di densità di probabilità ha? Non è corretto dire che sia $f_Y = c * f_X$, giusto?

Grazie!


Riscalare la $f_X(x)$ mi sembra una cattiva idea, si vede subito che poi non integra più a 1.
Prova a pensare a cosa significhi riscalare $X$: come abbiamo detto i punti di massa sono ora in $c$, $2c$, etc.
Ovviamente pero' la probabilità associata a $c$ dev'essere la stessa di quella associata a $1$, quella associata a $2c$ dev'essere la stessa di $2$, e così via...
Quindi si tratta di riscalare non la $f_X$ ma l'asse $x$. Da qui, se $Y = cX$ devi avere che

\(\displaystyle f_Y(y) = f_X(y/c) \).

Come conferma: la $f_X(x)$ è fatta da tante delta di Dirac centrate in $1, 2,\ldots$. Ora, ad esempio, prendi il punto $2c$ per la v.a. $Y$: la sua pdf in quel punto è $f_Y(2c)=f_X((2c)/c) = f_X(2)$. Questo è quello che volevi ottenere, ovvero che la probabilità associata all'evento $Y=2c$ è la stessa dell'evento $X = 2$.
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Re: Punti di massa variabile aleatoria

Messaggioda delca85 » 23/08/2014, 18:46

Grazie mille, ora è tutto chiaro. Scusate, ma avevo fatto un po' di confusione.

Nel caso della variabile continua, il ragionamento fatto qui:

delca85 ha scritto:Mi rispondo da sola, spero qualcuno mi corregga in caso stessi scrivendo l'ennesima boiata.

L'area sotto la curva definita dalla funzione di densità di $ Y $ deve valere sempre, ovviamente, 1. Quindi:
$ \int_{-\infty}^{\infty} f_Y(y) dy = 1 $. Sappiamo che $ dy = c*dx $, quindi deve essere $ \int_{-\infty}^{\infty} f_Y(y) c dx = 1 $.
Questo è possibile solo se $ f_Y(y) = ( f_X(x)) / c $, altrimenti scritto $ f_Y(y) = (f_X(y/c)) / c $.


regge?
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Re: Punti di massa variabile aleatoria

Messaggioda elgiovo » 23/08/2014, 19:17

Si regge. Nel caso di variabile continua è giusto quello che dici tu.

La trasformazione $Y = cX$ è un caso (molto semplice) di funzione di variabile aleatoria. Per schiarirti le idee guarda a pagina 8-9-10 di questo link.

Nel tuo caso la funzione in alto a destra a pagina 9 è una semplice retta $v = cu$, quindi la soluzione è una sola ($u_1$) e devi imporre $dv = |g'(u_1)|du_1$, e $A = A_1$.

La formula finale a pagina 10 è molto potente, ed è valida per una qualsiasi funzione $g(\cdot)$ di variabile aleatoria.

Nel tuo caso è facile vedere che torna, infatti $u_1 = v/c$ e $g'(u_1) = c$, quindi

\(\displaystyle f_V(v) = \frac{f_U(v/c)}{c} \)
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Re: Punti di massa variabile aleatoria

Messaggioda delca85 » 24/08/2014, 07:40

Ti ringrazio molto, mi hai schiarito le idee. Preziosissimo anche il pdf che mi hai linkato.
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Re: [RISOLTO]Punti di massa variabile aleatoria

Messaggioda elgiovo » 24/08/2014, 19:07

Figurati.

Quando sei in dubbio con una qualsiasi funzione di v.a. continua, puoi sempre applicare "meccanicamente" questo piccolo algoritmo:

- risolvere in $u$ l'equazione $v = g(u)$ e trovare un certo numero di soluzioni $u_i$ (possono essere zero, una,.... $\infty$)
- calcolare la derivata $g'$ nei punti $u_i$
- applicare la formula

\(\displaystyle f_V(v) = \sum_i \frac{f_U(u_i)}{|g'(u_i)|} \)

Tutto qua. Capire il perche' della formula e' semplice, basta ricordarsi i 3 grafici di pagina 9, dopotutto e' solo una mappatura non lineare della pdf di partenza, con delle areole infinitesime che devono conservarsi.
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