Integrale doppio

[Mr.Mazzarr]

Salve ragazzi, volevo chiedervi se è corretta la lettura dell'integrale doppio che devo calcolare:

$int_D (x^2+y) dx dy$

Con D che è:

$D = {x in RR^2 : 1 <= x^2 + y^2 <= 9 , x <= y}$

Volevo chiedervi come ottengo gli estremi d'integrazione rispetto a dx e rispetto a dy.
Vi ringrazio.

Avevo pensato di utilizzare il cambiamento di variabili, considerando che $x^2 + y^2$ indica il raggio di una circonferenza, potrei quindi facilmente ottenere gli estremi d'integrazione di $rho$. Però non so leggere il secondo dato dell'insieme.

[ciampax]

Hai provato a disegnare il dominio in coordinate cartesiane? Perché a me pare venga una cosa abbastanza semplice, senza necessità di usare le coordinate polari.

[Mr.Mazzarr]

Sinceramente non saprei disegnarlo.

Ho provato ad ottenere gli estremi d'integrazione in $dx$ andando semplicemente a sviluppare la disequazione:
$1≤x^2+y^2≤9$

Ottenendo quindi $sqrt(1 - y^2)$ come estremo d'integrazione inferiore e $sqrt(9 - y^2)$ come estremo d'integrazione superiore. Ma la seconda disequazione caratteristica del dominio?

[ciampax]

Una equazione del tipo $x^2+y^2=r^2$ è una circonferenza di centro l'origine e raggio $r$,mentre $y=x$ è una retta.

[Mr.Mazzarr]

Quindi ho due semicirconferenze di raggi $1$ e $9$; che si sviluppano rispetto all'asse crescente delle y?
Cioè nel primo e nel secondo quadrante.

[Mark24]

Ciao Mr.Mazzarr, come ti hanno già suggerito per esercizi del genere conviene sempre disegnare il dominio, che nel tuo caso risulta essere molto semplice. Da come noti hai che:
1)$ x^2+y^2=1$ è una circonferenza con centro origine e raggio unitario.
2)$x^2+y^2=9$ è una circonferenza con centro origine e raggio$ 3$
3)$x=y$ è una retta, precisamente la bisettrice del$ 1$ e$ 3$ quadrante.
Ora come noti disegnare tali luoghi geometrici è molto semplice. Per la domanda da te posta ti consiglio in tal caso di passare in coordinate polari:
$x=ρcos(Theta)$
$y=ρsin(Theta)$
dalla relazione : $1<=x^2+y^2<=9$ ricavi facilmente$ Rho$ , mentre dalla relazione $x<=y$ ricavi facilmente $Theta$.
Saluti Mark.

[Mr.Mazzarr]

Però in questo ho che $y$ può essere anche maggiore di $x$, quindi non ho una uguaglianza ma una disuguaglianza.
Nel caso in cui avessi avuto l'uguaglianza facevo variare $theta$ tra $0$ e $pi/4$.

Non è che in tal caso la pendenza è diversa, ovvero maggiormente vicina all'asse y e per questo $theta$ è tra $0$ e $pi/3$ ?

[Mark24]

Con calma, disegna sul foglio il dominio.. dovresti ottenere una parte di corona circolare. Ora a questo punto puoi procedere scomponendo il tuo dominio in 3 pezzi. (per intenderci il primo pezzo compreso nel primo quadrante, il secondo pezzo nel secondo quadrante, ed il terzo pezzo nel terzo quadrante). Noti che per ragioni di simmetria hai che i pezzi situati nel primo e 3 quadrante sono gli stessi. Ora vedendo il disegno, riesci a ricavarti facilmente gli estremi di integrazione? Se noti bene il primo pezzo nel primo quadrante è dato dalle seguenti relazioni:
$1<=x^2+y^2<=9 , x<=y, x>=0$ ed ovviamente sia dal disegno o dalle coordinate polari capisci che $1<=p<=3$ , $pi/4<=Theta<=pi/2$
quindi avresti $ int_{1}^{3} int_{pi/4}^{pi/2} p^3cos(Theta)+p^2sin(Theta) dpd(Theta) $.
Da osservare che questo è solo il primo pezzo. Che ne dici?
Saluti Mark.

[Mr.Mazzarr]

Ho compreso il tuo ragionamento;
ma quindi devo studiare 3 integrali e poi sommarli?

Nel secondo quadrante non avendo il passaggio della retta, ho semplicemente l'angolo compreso tra $pi/2$ e $pi$ ?

[Mr.Mazzarr]

Ho fatto la somma di tre integrali aventi estremi d'integrazione $1 <= rho <= 3$ e l'angolo tra $pi/4$ e $pi/2$, $pi/2$ e $pi$, $pi$ e $5/4 pi$. Che ne dici?