Successioni di funzioni

[Bad90]

Ho cominciato a studiare le successioni di funzioni, ho tutte le def. ma ancora non mi è tanto chiaro il come studiare, es. un caso in cui mi viene chiesto:

Studiare la convergenza (puntuale e uniforme) della seguente successione di funzioni:

$f_n(x) = sqrt((n+1)x)-sqrt(nx)$ con $x in [0,2]$

Potreste aiutarmi per favore a capire come si risolve???
Ecco il testo con la soluzione!

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Io sinceramente vorrei capire il ragionamento che fa!

Potreste per favore aiutarmi a capire????
Noto che risolve un limite e non ci sono problemi ne comprendere come lo risolve, sono semplici passaggi algebrici, solo che voglio capire il ragionamento da seguire

[stormy]

forse la definizione di convergenza uniforme ti può aiutare a capire
in pratica,una successione $f_n(x)$ converge uniformemente ,nel dominio delle $x$,ad una funzione $f(x)$ se
$forall epsilon>0,exists n_0 : forall n > n_0,forallx,|f_n(x)-f(x)|<epsilon$
mentre nella convergenza puntuale in generale $n_0$ dipende da $x$,come vedi,in quella uniforme si trova un $n_0$ che va bene per tutte le $x$
tornando al tuo problema ,si ha $f(x)=0$,mentre $f_n(x)$ si può mettere nella forma $sqrtx/(sqrt(n+1)+sqrtn$
ora,siccome $x in [0,2]$ ,è ovvio che, per ogni $x$, $|f_n(x)|$ è maggiorata da $a_n=sqrt2/(sqrt(n+1)+sqrtn)$
senza stare a fare i calcoli,è facile comprendere che $forallepsilon ,exists n_0 : foralln>n_0 ,a_n<epsilon$
quindi la successione data converge uniformemente

[Bad90]

forse la definizione di convergenza uniforme ti può aiutare a capire
in pratica,una successione $f_n(x)$ converge uniformemente ,nel dominio delle $x$,ad una funzione $f(x)$ se
$forall epsilon>0,exists n_0 : forall n > n_0,forallx,|f_n(x)-f(x)|<epsilon$
mentre nella convergenza puntuale in generale $n_0$ dipende da $x$,come vedi,in quella uniforme si trova un $n_0$ che va bene per tutte le $x$
tornando al tuo problema ,si ha $f(x)=0$,mentre $f_n(x)$ si può mettere nella forma $sqrtx/(sqrt(n+1)+sqrtn$
ora,siccome $x in [0,2]$ ,è ovvio che, per ogni $x$, $|f_n(x)|$ è maggiorata da $a_n=sqrt2/(sqrt(n+1)+sqrtn)$
senza stare a fare i calcoli,è facile comprendere che $forallepsilon ,exists n_0 : foralln>n_0 ,a_n<epsilon$
quindi la successione data converge uniformemente

Ok, ti ringrazio!

[Bad90]

Ho il seguente esercizio:



La cosa che non sto riuscendo a capire è perchè considere $f(1/n)=..$
Ma da dove prende questo $1/n$


In questo esercizio mi viene data una funzione $f_n(x) = (n^2x^2)/(1+n^2x^2)$ ed un intervallo sulla quale fare le verifiche $I=[0,1]$, intervallo chiuso a destra e a sinistra.
Si comincia a risolvere il limite $lim_(n->oo) f_n(x) = 0$ ed ho uno zero dal limite della successione, ed allora avendo il limite che da $0$ ed $I=[0,..]$, posso dire che si ha convergenza puntuale!
Poi nella soluzione, fa riferimento al seguente esercizio:


Penso proprio che si tratta della def. di limite!

Potete per favore aiutarmi a capire come arriva a quel $1/n$
Sono all'inizio di questi esercizi, e vorrei capire gli step risolutivi!

[ostrogoto]

Si comincia a risolvere il limite limn→∞fn(x)=0 ed ho uno zero dal limite della successione, ed allora avendo il limite che da 0 ed I=[0,..], posso dire che si ha convergenza puntuale!

$ f_n(x)= (n^2x^2)/(1+n^2x^2)=x^2/(1/n^2+x^2)rarr1 $ per $ nrarr+oo $ se $ x!=0 $
$ f_n(x)=0 rarr0 $ per $ nrarr+oo$ se $ x=0 $

poi metto evidentemente f(0)=1 essendoci in x=0 un punto di discontinuita' eliminabile. Quindi la funzione limite e' f(x)=1 $ AA x in [0,1] $ come dichiarato nella soluzione sulla fotocopia, non 0 come mi sembra che tu abbia trovato...Questo per la convergenza puntuale.

Per la convergenza uniforme, nell'esercizio 1.7 si osserva che sotto determinate ipotesi, presa una successione $ x_n $ $ x in I $ allora vale il limite scritto sotto. Si sottointende $ AA x_n $ ! Il punto critico della successione di funzioni sopra considerata e' x=0. Allora considero $ x_n=1/n $ che tende appunto a 0 (avrebbe funzionato anche con qualche altra successione $ x_n $ che convergesse a 0 (per esempio $ x_n=1/n^2 $ cosi' $ f_n(1/n^2)rarr0 $ per $ nrarr+oo$ )
$ f_n(x_n)rarr 1/2 $ quindi non c'e' convergenza uniforme.
La mia impressione e' che 1.7 sia una variante in qualche maniera del teorema per il quale sotto l'ipotesi di convergenza uniforme il limite di successioni di funzioni continue sia una funzione continua.

[Bad90]

Si comincia a risolvere il limite limn→∞fn(x)=0 ed ho uno zero dal limite della successione, ed allora avendo il limite che da 0 ed I=[0,..], posso dire che si ha convergenza puntuale!

$ f_n(x)= (n^2x^2)/(1+n^2x^2)=x^2/(1/n^2+x^2)rarr1 $ per $ nrarr+oo $ se $ x!=0 $
$ f_n(x)=0 rarr0 $ per $ nrarr+oo$ se $ x=0 $

poi metto evidentemente f(0)=1 essendoci in x=0 un punto di discontinuita' eliminabile. Quindi la funzione limite e' f(x)=1 $ AA x in [0,1] $.

Sei stato gentilissimo a rispondermi, ti ringrazio

Ho ancora qualche piccolo dubbio....

Non sto capendo come fai a dire che c'è discontinuità eliminabile???
Insomma, io so cosa sia:
http://www.youmath.it/lezioni/analisi-m ... nuita.html

Solo che dici di mettere evidentemente f(0)=1, ma da dove prendi quel $1$ ? Perchè proprio $f(0)$ ??

[ostrogoto]

Dal limite
$ f_n(x)rarr1 $ per $ nrarr+oo $ se $ x!=0 $
$ f_n(x)=0rarr0 $ per $ nrarr+oo $ se $ x=0 $

segue che la funzione limite f(x) a cui la successione di funzioni converge e':
$ f(x)={(1,if x!=0),(0,if x=0):} $

quindi f(x) presenta una discontinuita' eliminabile in x=0 perche' esistono e sono uguali i due limiti da destra e sinistra di x=0 :
$ lim _(xrarr0^+-) f(x)=1 $
ma il valore della funzione e' diverso: $ f(0)=0 $
Posso ripristinare la continuita' imponendo $ f(0)=1 $ ossia ponendo il valore della funzione pari a quello del limite.
Anche nella pagina che hai linkato si tratta la questione: cerca in essa la parte "punti di discontinuita' di terza specie" e vedrai che in quel paragrafo si usa il termine "eliminabile" e si procede come sopra.

p.s. quando si cerca la funzione f(x) alla quale la successione di funzioni converge (quando c'e' convergenza) si fa il limite $ f_n(x) $ per $ nrarr+oo $ come se la x fosse un parametro.

[Bad90]

Non mi e' tanto chiaro il discorso per la convergenza uniforme!
Puoi per favore aiutarmi a capire meglio il discorso da fare per arrivare a utilizzare $1/n$

[ostrogoto]

Comincio dal principio. Tra le pieghe di tutto questo discorso ci puo' essere l'informazione cercata che permette la comprensione dell'esercizio...
Per dimostrare che una successione di funzioni converga uniformemente o meno si puo' usare la definizione di convergenza uniforme come ti e' gia' stata scritta in un messaggio precedente di Stormy, oppure per dimostrare la non convergenza uniforme si possono usare dei teoremi o proposizioni che coinvolgono la convergenza uniforme nelle ipotesi. Nel caso in questione del riferimento all'esercizio 7, si nota che se prendo la successione $ x_n=1/n $ e calcolo il limite $ f_n(1/n)rarr1/2 $ per $ nrarr+oo$ mentre $ f(0)=1 $. Allora segue che $ f_n(x) $ non puo' convergere uniformemente altrimenti essendo le $ f_n(x) $ continue la tesi dovrebbe essere valida ossia il limite dovrebbe essere 1. In altri termini se la tesi di una proposizione non e' verificata in un certo esercizio, qualche ipotesi non e' soddisfatta.
Nel caso specifico, x=0 e' il punto critico della successione di funzioni (prova a disegnare qualche $ f_n(x) $ al computer e te ne rendi conto visivamente) perche' tutte le $ f_n(0)=0$ mentre la funzione limite vale 1, cioe' le $ f_n(x) $ restano distanti dalla funzione limite per x=0, mentre per tutti gli altri punti le $ f_n(x) $ si avvicinano sempre di piu' alla funzione limite f(x)=1.
Come sottolineato da Stormy nella definizione di convergenza uniforme $ n_0 $ va bene per tutti gli x, ossia per un certo $ n_0 $ in poi la distanza tra le $ f_n(x) $ e la funzione limite su tutto l'intervallo considerato diventa piccola a piacere, cosa che non capita nel caso in questione.
Nell'esercizio 7 in discussione, si dice che per ogni punto deve valere quel limite, ma per x=0 abbiamo capito che ci sono dei problemi, quindi prendiamo una successione $ x_n=1/nrarr0 $ per $ nrarr+oo $ e dimostriamo che la successione non converge uniformemente. In questo caso si e' considerato $ x_n=1/n $ ma avrei potuto prendere altre successioni $ x_nrarr0 $ e dimostrare che il limite non e' uguale a f(0)=1. Per esempio se avessi considerato $ x_n=1/n^2 $ avrebbe funzionato ugualmente essendo $ x_n=1/n^2rarr0!=1 $. Il teorema sottointende per ogni successione $ x_nrarrx_0 $ quindi ne ho scelta una.
Chiedo scusa se sono stato logorroico, ho fatto esercizio di battitura...

[Bad90]

Sto cercando di capire il seguente esercizio:




Qualcuno esperto può cortesemente darmi un aiuto a capire il ragionamento che fa????