Sia \(\displaystyle f:R^3 \longrightarrow R^4 \) l'applicazione lineare dipendente da un parametro \(\displaystyle\lambda \in R \)seguente:
\(\displaystyle f:\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} \) \(\displaystyle := \) \(\displaystyle\begin{bmatrix} 2x_1+\lambda x_3 \\ x_1 - \lambda x_2 + x_3 \\ -2x_2 + x_3 \\ x_1 + x_2 \end{bmatrix} \).
1) Dire per quali valori di \(\displaystyle \lambda \) il nucleo di f è diverso da zero.
2) Determinare , se esiste, una base del nucleo di f.
3) determinare, se esiste, una base dell'immagine di f.
4) Dire se per qualche valori di \(\displaystyle \lambda \) il vettore \(\displaystyle v=(0,2,2,0)^t \) è nell'immagine di f.
5) Per una valore di \(\displaystyle \lambda \) scelto a piacere, determinare l'immagine del vettore \(\displaystyle w= (1,1,1)^t \).
SVOLGIMENTO: Ho ridotto per righe la matrice \(\displaystyle A= \)\(\displaystyle
\begin{bmatrix} +2 + 0 + \lambda \\ +1 -\lambda +1
\\ +0 -2 +1 \\+1 + 1 + 0 \end{bmatrix} \) scegliendo come pivot primo pivot \(\displaystyle 2 \) e come secondo pivot \(\displaystyle -2 \) scambiando la terza riga con la seconda al fine di ottenere una matrice ridotta per gradini con pivot \(\displaystyle 2 e -2 \). Ho così ottenuto la matrice \(\displaystyle B'= \)\(\displaystyle
\begin{bmatrix} +2 + 0 + \lambda \\ +0 -2 +1
\\ +0 +0 +(1-\lambda) \\+0 + 0+ ( \frac{1-\lambda}{2} ) \end{bmatrix} \). Da qui ho capito che allora i casi da studiare per rispondere al punto 1) erano \(\displaystyle \lambda=0 \),\(\displaystyle \lambda=1 \),\(\displaystyle \lambda \notin \begin{Bmatrix} 0 , 1 \end{Bmatrix}\). Verificare per quali valori di \(\displaystyle \lambda \) il nucleo di f è diverso da zero significa dunque considerare la matrice \(\displaystyle B' \), sostituire in essa i valori appena trovati di \(\displaystyle \lambda \) e svolgere il sistema omogeneo associato \(\displaystyle N(f)=0 \). Ho ottenuto delle matrici complete dove ovviamente la matrice dei termini noti era tutta uguale a 0 ma bisognava ridurla per righe e risolvere il sistema omogeneo. Alla fine mi sono quindi trovato che il \(\displaystyle N(f)\notin 0 \) solo quando \(\displaystyle \lambda= 1 \) ed il nucleo di f \(\displaystyle = ( \frac{-t}{2}, \frac{t}{2},t). \). Punto 2) Determinare una base del nucleo di f significa trovare dei vettori linearmente indipendenti che soddisfino l'equazione \(\displaystyle AX=0 \). Quindi utilizzando \(\displaystyle \lambda=1 \) partendo dalla matrice ridotta per righe \(\displaystyle B' \) ho ottenuto una matrice \(\displaystyle B''= \)\(\displaystyle \begin{bmatrix} +2 + 0 + 1 \\ +0 -1 +\frac{1}{2}
\\ +0 +0 +0 \\+0 + 0 + 0 \end{bmatrix} \) ed essendo i vettori così ottenuti linearmente indipendenti sicuramente costituivano una base del nucleo di f. Quindi \(\displaystyle B(N)= v_1=(2,0,1),v_2=(0,-1,\frac{1}{2}) \).
Punto 3) Determinare una base dell'immagine di f significa considerare lo spazio generato dalle colonne di \(\displaystyle A \) ovvero ridurre la matrice \(\displaystyle B= A^t \). Quindi ho ottenuto utilizzando \(\displaystyle \lambda=1 \) la matrice \(\displaystyle B \)trasposta di \(\displaystyle A \) \(\displaystyle = \begin{bmatrix} +2 + 1 + 0 +1\\ +0 -1-2+1
\\ +1 +01 +1 +0 \end{bmatrix} \). Quindi una base dell'immagine di f è data dai vettori \(\displaystyle v_1=( 2,1,0,1),v_2=(0,-1,-2,1) \) perchè la matrice ridotta ottenuta presenta terza riga nulla. Ora mi chiedo, in base al teorema delle dimensioni non mi trovo bene nel calcolare le dimensioni dell'immagine e del nucleo per verificare di aver svolto bene l'esercizio, ma comunque quello che mi lascia perplesso è il fatto che l'immagine ha 2 vettori con 4 componenti mentre il nucleo ha 2 vettori con 3 componenti, quindi sto passando da \(\displaystyle R^3 \)con il nucelo ad \(\displaystyle R^4 \) con l'immagine e non so se possa essere giusto o meno. Detto ciò, i punti 4) 5) non saprei proprio svolgerli perchè non so se quando mi chiede di scegliere un \(\displaystyle \lambda \) a piacere posso scegliere solo i valori risultati dalla riduzione della matrice originaria e quindi quei valori relativi all'esercizio o posso scegliere ad esempio anche 2,3 non sò. Comunque ovviamente non chiedo di svolgere i punti 3 e 4 ma almeno di chiarirmi i passaggi fondamentali e cosa dovrei trovarmi in linea teorica. Grazie mille
Il punto 5 mi sembra piuttosto esplicito. Chiede di calcolare l'immagine di \(\displaystyle (1,1,1)^t \)